Groupes isomorphe:

par **fourize** » 17 Avr 2010, 22:01

bonjour,

j'aimerai savoir comment (ou quelles sont les méthodes pour ) montrer que deux groupes sont isomorphes ???

PS. avec un exemple si possible, merci d'avance :-)

-------------------------------------------
j'ai quelque bout de souvenir un peu floue du genre:
soit A et B deux groupes, on dit que A et B sont isomorphes si il existe deux applications f:A ---> B et g: B --->A, telles que f ° g =

et g°f =

[est ce juste ou je raconte une betise ]

par **Joker62** » 17 Avr 2010, 23:47

L'idéal c'est de trouver un isomorphisme entre les deux.
Pour ça on utilise souvent la notion de quotient, les théorème d'isomorphisme

Ou bien les produit (semi)-directs.
Enfin y'a du choix :o

par **Ben314** » 17 Avr 2010, 23:52

Salut,
Alors là..., la question est EXTREMEMENT vaste...
Tout dépend de la nature des groupes (groupes finis, groupes "géométriques", goupes de Lie,...) et de la façon dont tu les connais.
Par exemple il y a un résultat "rigolo" concernant les groupes définis par générateurs et relations : on sait trés bien quelles sont les seules "étapes" permettant de passer d'une présentation d'un groupe à une autre, mais on sait aussi... qu'on ne peut pas donner de borne sur le nombre d'étape, c'est à dire qu'un algorithme ne peut pas dire à coup sur si deux présentations donnent le même groupe.

Bon, sinon, pour rester plus "terre à terre",dans les cas "pas trop méchant", pour montrer que deux groupes sont isomorphe, ben... on construit un isomorphisme.
Cas particulier utile : pour les groupe finis, s'ils ont même cardinal, une injection (ou une surjection) suffit.

Aprés, si tu ne me donne pas toi-même un exemple du type de groupe auquel tu pense, je sais pas quoi te dire...

Un exemple "un peu complexe" qui me vient à l'esprit, c'est de montrer que

(groupe spécial linéaire) est isomorphe au groupe de présentation :

P.S. j'avais pas vu ce que tu avais mis en dessous du trait "--------" :
Oui, c'est parfaitement juste : c'est la définition... d'un isomorphisme (en n'oubliant pas de préciser que f et g doivent être des morphismes de groupe)

par **fourize** » 18 Avr 2010, 18:16

salut Ben et Joker !

comme tu le dis Ben,
prenons un exemple concret !
soient les groupes Z[X]/(X²+1) et Z[i] . ou Z est l'ensemble des entiers relatifs.
- comment montrer qu'ils sont isomorphes ???

cordialement !

par **Nightmare** » 18 Avr 2010, 18:27

Salut!

Ici, tu peux facilement construire un isomorphisme entre les deux, regarde comment chacun est construit !

par **Ben314** » 18 Avr 2010, 21:40

Je rajouterais que, trés fréquement, on muni tes deux groupes de deux lois (+ et x) ce qui fait d'eux des... anneaux et qu'en fait l'isomorphisme naturel entre les deux est un isomorphisme d'anneau.

par **fourize** » 20 Avr 2010, 18:57

salut;

Ben314 a écrit:Salut,
Aprés, si tu ne me donne pas toi-même un exemple du type de groupe auquel tu pense, je sais pas quoi te dire...

c'est la raison pour la quelle j'ai donné les deux anneaux dans mon message precedent. pour que vous m'illustriez avec cette exemple afin que je puisse mieux comprendre.

Bien sur, je sais que je commence avec: soit f Z[x]/(X²+1) ---> Z[i], et g:Z[i]--->Z[X]/(X²+1) deux applications bijectives. mais que ce qu'elles doivent verifier ???

Nightmare: la construction de ces anneaux ne me pose pas de probleme mais je ne vois pas comment ça peut nous aider ici.

F.

par **Joker62** » 20 Avr 2010, 19:37

Tu choisis un élément de Z[X] : on note f(X)
On fait la division euclidienne de f(X) par X^2 + 1
Il existe donc a et b dans Z tel que

f(X) = (X^2+1)g(X) + aX + b
Peut être qu'on pourrait associer l'élément ai + b ou a + ib je sais plus trop :o
ça donne déjà une tite association

Reste à vérifier que c'est un iso...

par **fourize** » 20 Avr 2010, 19:57

:doh:

Joker62 a écrit:f(X) = (X^2+1)g(X) + aX + b
Peut être qu'on pourrait associer l'élément ai + b ou a + ib je sais plus trop
Reste à vérifier que c'est un iso...

ah, peut etre pour ça que me parlait Nightmare de la construction, je jette un coup d'oeil de ce coté là et je te dis ce que je trouve.
-------
parallelement, je viens d'avoir une idée.
soit f:Z[X]/(X²+1)--->Z[i] une application.
si on arrive à montrer que f est bijective, ça devait etre BON ! mais je me demande comment ??? (je n'ai aucune information sur f :hum: )

par **Doraki** » 20 Avr 2010, 20:46

T'as essayé f(P) = P(i) ?

par **Nightmare** » 23 Avr 2010, 05:31

fourize a écrit::doh:

ah, peut etre pour ça que me parlait Nightmare de la construction, je jette un coup d'oeil de ce coté là et je te dis ce que je trouve.
-------
parallelement, je viens d'avoir une idée.
soit f:Z[X]/(X²+1)--->Z[i] une application.
si on arrive à montrer que f est bijective, ça devait etre BON ! mais je me demande comment ??? (je n'ai aucune information sur f :hum: )

ATTENTION!! ce n'est pas parce que deux groupes sont isomorphes qu'une application quelconque de l'un dans l'autre est un isomorphisme !

par **fourize** » 24 Avr 2010, 21:31

Nightmare a écrit:ATTENTION!! ce n'est pas parce que deux groupes sont isomorphes qu'une application quelconque de l'un dans l'autre est un isomorphisme !

OUI, OUI, OUI !

seulement les morphismes, je sais ! [c'est sous entendu]
je vous posterai ce que j'ai ecrit demain ...

par **Nightmare** » 25 Avr 2010, 03:55

fourize a écrit:OUI, OUI, OUI !

seulement les morphismes, je sais ! [c'est sous entendu]
je vous posterai ce que j'ai ecrit demain ...

A priori, non plus :lol3:

par **Ben314** » 25 Avr 2010, 09:19

Salut,
Je m'insinue discrétos, mais si ton objectif est de voir quelques exemples de morphismes de groupes, je sais pas si le choix de Z[X]/(X²-1) et Z[i] est judicieux :

Ce sont plutôt des anneaux et si on les regarde en temps que groupe (additif forcément) ils sont commutatifs et tout les deux isomorphes à Z² (donc pas super interessants).

De plus, la preuve de l'isomorphisme (d'anneau) repose quasi exclusivement sur des définitions :

Déf : Z[i] est l'image de Z[X] par l'application de Z[X] dans C qui à un polynôme P associe P(i).

Déf : (X²+1) est l'idéal de Z[X] engendré par le polynôme X²+1, c'est à dire l'ensemble des polynômes P divisibles par X²+1, c'est à dire l'ensemble des polynômes P de Z[X] tels que P(i)=0.

Déf : Z[X]/(X²+1) est l'anneau quotient des classes d'équivalence modulo l'idéal (X²+1)

Conclusion, ici, la seule chose à savoir, c'est que si f est un morphisme (d'anneau ici) de A dans B alors A/Ker(f) est isomorphe à Im(f).

Bon, d'un autre coté, il est vrai que, dans le cas de quotients (de groupe, d'anneau,...) ce théorème est extrèmement souvent utilisé.

par **fourize** » 25 Avr 2010, 19:26

NB. pour simplifier vos réponses, j'ai numeroté mes questions de (a) à (e).

Bah, Nightmare ! :doh: (a) que ce que tu me dis ?

Merci Ben, pour toutes ces définitions. en plus je les ai toutes dans mon cours! tu imagine ce que ça fait d'avoir touts les outils nécessaire sans savoir comment les utiliser :mur: c'est pour ça qu'un exemple bien détaillé sera le bienvenue.

mais avant que je continu, si comme tu dis Ben, ma définition que j'ai donné dans mon premier poste sous "--------" est juste. (b) pourquoi on montre pas simplement que les morphismes sont Bijectives ??

Voici ce que j'ai fait :
soit f: Z[X]---> Z[i] tq f(P) = P(i) pour tout P de Z[x].
pour tout P £ Z[x]. on peut ecrire P = (X²+1)Q(X) + a + bX.
=> f(P) = f(a + bX) = a + ib £ Z[i].
*regardons l'image de f:
Imf = Z[i]; car pour tout R £ Z[i], il existe P £ Z[X] tq f(P) = R.
ainsi f est surjective !
*regardons le noyau de f :
kerf = {P £ Z[x] tq f(P) = 0 P = (X²+1)Q }
kerf est l'ideal engendré par polynome X²+1. donc kerf =
d'ou Z[X]/(X²+1), Z[i] . sont isomorphe !

Mes questions:
(c) - est ce le raisonnement est suffisamment Juste !?
(d) - je me rend compte que j'ai pas verifié l'injectivite, est elle necessaire ?

si l'exemple choisi, n'est pas interessant Ben. (e) est ce Z[i]/(p) et Z[X]/(p,X²+1) est explicatif ?

cordialement,
fourize.

par **Ben314** » 25 Avr 2010, 20:58

(c) Ta preuve est parfaitement O.K. tu peut même te passe de la surjectivité qui découle de la définition de Z[i] :
La définition de Z[i] est d'être l'ensemble des P(i) où P est dans Z[X], le fait que Z[i] est l'ensemble des a+bi où a,b sont dans Z découle de la définition.

(d) Tu n'as pas besoin de vérifier l'injectivité : lorsque l'on quotiente l'espace de départ par Ker(f), par construction, cela rend la fonction "quotientée" injective.

(e) Si tu n'est pas habitué au quotients par des idéaux et aux manip. que l'on fait avec, cet exemple est un bon premier exemple.

par **fourize** » 26 Avr 2010, 16:28

op ! on se jette à l'eau ...

voilà ou j'en suis consernant l'exemple :
soit f : Z[X]--->Z[i]; qui associe f(S) = S(i) un morphisme. ( quitte à remplacer f par son inverse s'il le faut ),
pour tout S £ Z[X], S(X) = (X²+1)P*Q + R (jusqu'à là tout vas bien )

sauf que si ce que j'ecris est juste (ce qui est fort probable);
deg(R) <= 2 + deg(P) :hum:

ma question :
si deg(P) = 0; super !
mais si deg(P) n'est pas 0 ... que faire ?

par **LA solution** » 03 Oct 2013, 17:55

bonjour,
j aimerai avoir une idee sur la construction de l isomorphise qui part d un groupe a un autre c est a dire :
et comment montre que ces deux sont isomorphes
soit f une application

par **deltab** » 04 Oct 2013, 03:18

Bonjour.

fourize a écrit:bonjour,

j'aimerai savoir comment (ou quelles sont les méthodes pour ) montrer que deux groupes sont isomorphes ???
PS. avec un exemple si possible, merci d'avance
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j'ai quelque bout de souvenir un peu floue du genre:
soit A et B deux groupes, on dit que A et B sont isomorphes si il existe deux applications f:A ---> B et g: B --->A, telles que f ° g = et g°f = [est ce juste ou je raconte une bêtise ]

Tu le dis toi-même, tu as quelque bout de souvenir...
Ceci m'incite à dire que tu as suivi des cours d'algèbre dans lesquels on donne juste les définitions élémentaires: groupe, sous-groupe, endomorphisme, isomorphisme, peut-être les notions de sous-groupe distingués et autres sous-groupes particuliers.
Ce que tu as défini est une bijection entre deux groupes. il faut ajouter la propriété f(x*y)=f(x)*f(y).
J'ai fait un abus de notation en notant par * les 2 lois.(J'aurai même écrire f(xy)=f(x)f(y))

Groupes isomorphe:

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