Groupes, actions

[L.A.]

Bonsoir,

Soient un groupe abélien et le groupe des automorphismes de .

Que peut-on dire des sous-groupes de qui agissent simplement transitivement sur (autrement dit tels que pour tous il existe un unique tel que ) ?
S'il en existe, seraient-ils conjugués par exemple ? et si on rajoute la condition abélien ?

Merci.

[Ben314]

Salut,
Si alors et, pour tout non carré, est un sous groupe commutatif de qui agit simplement transitivement sur .

Sauf que, par exemple, et ne sont pas isomorphes (donc surement pas conjugués) vu que le premier contient des éléments d'ordre 4 et pas le second.

[L.A.]

Merci pour cet exemple très intéressant... bon à y regarder de plus près j'aurais pu le trouver aussi. Ma motivation "secrète" derrière cette question était de regarder le lien entre un tel groupe K et une structure de corps sur le groupe additif G, et ton exemple dit simplement qu'il existe des corps de degré 2 sur Q qui sont non isomorphes (Q(i) et Q(racine(2)) en l'occurrence), ce qui assez clair...

Puis-je te demander comment tu as trouvé cet exemple ?

Autre chose, je pensais plutôt au cas G fini, je pense que ce type de contre exemple ne tient plus par unicité des corps finis mais je dis peut être encore un bêtise...

[Ben314]

Concernant le "comment j'ai trouvé", ben j'ai commencé par voir que le fait que K agit simplement transitivement sur G\{0} équivaut à dire que, pour un e fixé de G\{0} et tout a de G\{0}, il existe un unique k_a de K tel que k_a(e)=a. Ensuite, si pour tout a,b dans G\{0} tu pose
a x b = k_a(b) = k_a o k_b(e)
Ca muni G d'une structure de corps dans le cas où K est commutatif (dans le cas non commutatif, on a pas forcément la distributivité à droite...)
Arrivé à ce point, restait à voir que, pour un groupe (G,+) donné, il existe plusieurs structures de corps (non isomorphes) (G,+,x)

Concernant le cas où G est fini, si tu impose au groupe K d'être commutatif alors ce que tu cherche c'est exactement les éventuels corps (K,+,x) (si je me suis pas gouré : vérifie...) et donc un tel groupe K commutatif ne pourra exister que si (G,+) est isomorphe à (Z/pZ)^d pour un certain p premier et un certain entier d vu que tout les corps finis ont comme groupe additif sous-jacent un groupe de ce type.
L'unicité à isomorphisme près de la structure de corps te donne (sauf erreur) l'isomorphisme entre deux groupes K tels que tu les définis et je pense qu'effectivement, ils seront forcément conjugués dans Aut(G) (à vérifier...)

Si tu n'impose pas à K d'être commutatif on doit pouvoir dire des chose vu qu'on connait parfaitement les différents groupes commutatifs finis G (qu'on a intérêt à voir comme des Z-modules) et qu'il me semble qu'on connait la structure des automorphismes de G (qui sont des applications Z-linéaires...)

[L.A.]

L'unicité à isomorphisme près de la structure de corps te donne (sauf erreur) l'isomorphisme entre deux groupes K tels que tu les définis et je pense qu'effectivement, ils seront forcément conjugués dans Aut(G) (à vérifier...)

Jusque là nous sommes d'accord (même si je n'ai pas non plus tout vérifié précisément)

Si tu n'impose pas à K d'être commutatif on doit pouvoir dire des chose vu qu'on connait parfaitement les différents groupes commutatifs finis G (qu'on a intérêt à voir comme des Z-modules) et qu'il me semble qu'on connait la structure des automorphismes de G (qui sont des applications Z-linéaires...)

Justement, je pensais (encore à vérifier bien à plat mais :dodo:) au théorème de Wedderburn qui exclut peut-être le cas non commutatif...

[Ben314]

Oui, mais dans le cas où K n'est pas commutatif, si tu défini le produit comme çi dessus, alors :
ax(b+c) = k_a(b+c) = k_a(b)+k_a(c) = axb+axc vu que k_a est un morphisme
donc on a la distributivité à droite

MAIS
(a+b)xc = k_{a+b}(c) mais il n'est pas clair que k_{a+b}=k_a+k_b :
On a (k_a+k_b)(e)=a+b=k_{a+b}(e) et l'unicité du k de K tel que k(e)=? te dit que
k_a+k_b=k_{a+b} a condition que... k_a+k_b soit dans K ce qui n'est pas clair du tout...

Donc il me semble bien que (G,+,x) n'est pas forcément un corps ce qui fait que tu ne peut pas utiliser le fait que tout corps fini est commutatif...

[L.A.]

En effet, Wedderburn exclut les groupes K non commutatifs qui ont la propriété (un peu étrange) "distributivité à gauche". A vérifier aussi si Wedderburn ne peut pas être démontré sans utiliser cette distributivité à gauche... Ou à envisager aussi de définir la multiplication par la gauche et par la droite (éventuellement avec deux groupes K différents) pour avoir la distributivité des deux côtés...

[Ben314]

Je viens de penser à un truc très con concernant ta question :
Si G est fini et que a,b sont dans G\{0}, pour qu'il existe un automorphisme k de G tel que k(a)=b, il faut au minimum que a et b aient le même ordre donc pour qu'un tel k existe quels que soient a,b dans G\{0}, il faut que tout les éléments de G\{0} soient de même ordre ce qui implique (très simple) que (G,+) doit être isomorphe à (Z/pZ)^n avec p premier et n entier (=> tout les éléments de G\{0} sont d'ordre p)
Après, la question intéressante, c'est de savoir si, dans ce cas, un sous groupe K de Aut(G)=GLn(Z/pZ) agissant simplement transitivement sur G\{0} est forcément commutatif ou pas...