Groupe monogène

[Ncdk]

Bonjour,

J'ai besoin d'aide pour un exercice certes cours, mais justement, plus l'énoncé est cours plus j'ai du mal :zen:

Le groupe x est-il monogène ?

Je ne sais absoluement pas comment commencer.
Je sais que par définition : Un groupe est monogène s'il existe tel que

D'ailleurs je voulais savoir quelque chose, est-ce que dans la définition ci-dessus, x est un générateur de G, car cette notion de générateur est flou pour moi.

[L.A.]

Oui, G= revient à dire que x est un générateur de G.

Prenons x = (2,3) dans Z^2, que vaut ? (donne moi quelques éléments, ça suffira)
Est-ce que un choix de x particulier peut faire que = Z^2 ?
(Il faut visualiser les choses dans R^2, regarde à quoi ressemble )

[Ncdk]

Oui, G= revient à dire que x est un générateur de G.

Prenons x = (2,3) dans Z^2, que vaut ? (donne moi quelques éléments, ça suffira)
Est-ce que un choix de x particulier peut faire que = Z^2 ?
(Il faut visualiser les choses dans R^2, regarde à quoi ressemble )

Tout d'abord, j'arrive pas à voir ce que ça donne , je crois que c'est le fait qu'il y ait un couple (a,b) qui me gêne, j'ai jamais vu d'exemple de ce style... :triste:

[chombier]

Tout d'abord, j'arrive pas à voir ce que ça donne , je crois que c'est le fait qu'il y ait un couple (a,b) qui me gêne, j'ai jamais vu d'exemple de ce style... :triste:

en notation multiplicative

( en notation additive)

Dans (Z^2, +), = {(0,0), (2,3), (-2,-3), (4, 6), (-4, -6), (6, 9), ... }

C'est par construction un sous groupe de (Z^2, +) : c'est le plus petit groupe (au sens de l'inclusion) contenant l'élément (2, 3)

[Ncdk]

en notation multiplicative

( en notation additive)

Dans (Z^2, +), = {(0,0), (2,3), (-2,-3), (4, 6), (-4, -6), (6, 9), ... }

C'est par construction un sous groupe de (Z^2, +) : c'est le plus petit groupe (au sens de l'inclusion) contenant l'élément (2, 3)

Super merci, donc si je comprends bien, je dirais que ce n'est pas monogène car il existe pas de couple (a,b) tel que

Ce n'est que constatation mais comment je peux m'y prendre pour le prouver ?

[chombier]

Super merci, donc si je comprends bien, je dirais que ce n'est pas monogène car il existe pas de couple (a,b) tel que

Ce n'est que constatation mais comment je peux m'y prendre pour le prouver ?

Soit (a,b) un élément de Z^2

Peux-tu trouver un élément de Z^2 qui ne soit pas dans ? Si oui, c'est gagné.

[Ncdk]

Par exemple (0,2) non ?

[chombier]

Par exemple (0,2) non ?

Nope : si (a,b) = (0,1), alors (0,2) est un élément de .
plus trivialement, si (a,b) = (0,2), alors (0,2) est un élément de .


Ta réponse doit dépendre de a et b (et accessoirement tu dois considérer à part le cas : (a,b)=(0,0))

Tu peux remarquer que = { (k.a, k.b), k entier relatif }

Le seul cas où cet ensemble est fini est quand a=b=0 : = { (0,0) }

D'une façon générale, = { e }

[Ncdk]

Ah ouais, donc en fait l'exemple du (0,0) suffit amplement pour dire qu'il est différent de du coup non ?

[chombier]

Ah ouais, donc en fait l'exemple du (0,0) suffit amplement pour dire qu'il est différent de du coup non ?

Non, pour prouver qu'un groupe n'est pas monogène, il ne suffit pas de trouver un élément x tel que n'est pas égal à G.

Sinon, comme = {e} aucun groupe ne serait monogène, même pas Z, car ={0} (et accessoirement =2Z)

Il faut prouver que pour TOUT élement x de G, n'est pas égal à G.

Un groupe est monogène s'il existe un élément x de G tel que =G
Un groupe n'est pas monogène si pour tout x de G, n'est pas égal à G

Attention à bien énoncer le contraire d'une propriété : le contraire de la propriété "il existe x tel que P(x)" est "quel que soit x, non P(x)"

[Ncdk]

Du coup, si par exemple je prends un générateur (a,b) de

Soit il existe un (Je sais pas si je dois prendre Z car du coup k peut être nul...) tel que

Par identification on a kb=1 et ka=0 donc ça implique que k est différent de 0 et donc a=0.

On prends maintenant il existe un (Même soucis qu'en haut) tel que

Par identification on a Lb=0 et La=1 donc ça implique que L est différent de 0 et donc b=0

En conclusion on a mais je sais pas quoi dire après pour conclure, on doit arriver à un truc absurde, il doit me manquer peut-être quelque chose avant

[zygomatique]

salut

soit (u, v) un générateur de ZxZ

donc il existe un relatif p tel que (1,0) = p(u, v)

pu = 1
pv = 0

et il existe un relatif q tel que (2, 1) = q(u, v)

qu = 2
qv = 1

qv = 1 => v <> 0

pv = 0 et v <> 0 => p = 0

pu = 1 => p <> 0

contradiction

donc (u, v) n'existe pas

....

[chombier]

Alternative :
(a,b) est dans Z^2
Si a=0, (1,0) n'est pas dans <(a,b)>
Si b=0, (0,1) n'est pas dans <(a,b)>
Dans tous les autres cas, (a, 2b) n'est pas dans <(a,b)>

Donc Z^2 n'est pas monogène

[Ben314]

Alternative :
(-b,a) n'est dans <(a,b)> que si (a,b)=(0,0)