Monogène, cyclique

[Lostounet]

Hello,

Bonne rentrée!
J'ai deux exercices assez simples à faire.


1) Le groupe des permutations de {1 ; 2 ; 3} est-il cyclique?

D'abord pour montrer qu'un groupe est cyclique il faut qu'il soit monogène et fini.
Je pense pouvoir citer exhaustivement les éléments du groupe (et en général par récurrence pour un groupe de permutations de n éléments).

Par contre la nouveauté, c'est de montrer que c'est un groupe monogène.
En permutant donc plusieurs fois, est-ce que je peux générer le groupe tout entier.

Qu'est-ce qu'il faut faire? Comment formaliser cela.

[adrien69]

Salut,

Ça sera presque évident quand tu auras assez travaillé avec les groupes.

Si tu prends l'élément (1,2) du groupe, est-ce qu'il peut induire une transformation sur 3 ? Même mis à une puissance quelconque ?

Si tu prends (1,3), tu peux induire une transformation sur 2 ?

Tu peux en déduire quoi si par exemple tu prends (1,3,2) ?



Autre façon de voir, est-ce que tu ne connais pas une condition nécessaire sur les groupes monogènes du point de vue de la commutativité ?

[Lostounet]

Ok encore des lacunes

Je ne savais pas qu'on devait aussi prendre les petits bouts de (1 ; 2)... Apparemment si mais j'ai un peu oublié.

Je vais m'aventurer pour te donner la condition: je pense que lorsque le cardinal du groupe de permutations (je veux dire le nombre d'éléments "générateurs") est >= 3, alors on perd la commutativité... C'est quoi exactement le groupe de permutations en français?

[adrien69]

Ben je crois que c'est groupe des permutations en français... Mais j'ai subitement un doute.

Évite les approximations du type "dès que le nombre de générateurs est supérieur à 3", ça ne veut rien dire puisque (1,2) et (2,3) engendrent le groupe S3.

Bon sinon, un groupe monogène est toujours commutatif, parce que deux éléments différents vont s'écrire a^n et a^m si a engendre le groupe. Sauf que a commute avec lui-même.

Et comme tu le dis, dès que n>2; Sn n'est plus commutatif. Suffit de prendre (1,2) et (1,3) et de comparer (1,2)(1,3) et (1,3)(1,2).

Donc S3 ne sera clairement pas monogène.

[adrien69]

Mais comme j'ai voulu te montrer, on peut le faire de manière un peu root.

Si tu prends l'identité, elle n'engendre pas le groupe.

Désormais, si tu prends i,j distincts, et que tu prends k différent de i et de j,

Eh bien (i,j)^n appliqué à k renverra toujours k. Donc tu ne pourras pas engendrer (i,j,k) entre autres.

Si tu prends désormais i,j,k distincts, (i,j,k)^3=(i,j,k) et donc le groupe engendré par (i,j,k) n'a que trois éléments, (i,j,k), id, et (i,j,k)^-1=(i,j,k)²=(i,k,j).

[Lostounet]

Est-ce que tu peux me dire (1,2)(1,3) = ... et (1,3)(1,2) = ..?

Je sais que toute permutation s'écrit comme produit de transpositions. Mais sur quoi on opère, en écrivant ça: (1,2)(1,3) et (1,3)(1,2)...

(1,2)(1,3) = ...

Je sais c'est du cours mais j'ai bien bossé, c'est un problème d'assimilation du cours de sup.

[adrien69]

On opère sur l'ensemble {1,2,3} quand on travaille avec le troisième groupe de permutation.

Il vaut mieux que tu calcules le produit toi-même. À la main. En appliquant (1,2)(1,3) à 1, puis à 2, et enfin à 3 pour en déduire l'action.

Pour info, cette forme d'écriture ne peut pas être réduite.

Bon j'avoue, c'est aussi que je risque de me gourer si je fais le calcul ;)

[Lostounet]

Okay bah si je comprends, je vais noter t1 = (1, 2)
t2 = (1, 3)

Pour 1, je lui applique t2: 3
je lui applique t1: 3

Pour 2 je lui applique t2: 2
je lui applique t1: 1

Pour 3, je lui applique t2: 1
je lui applique t1, 2

(3 ; 1 ; 2)

Et pour l'autre je trouve un truc qui commence par (2 ; ..)

Si les supports sont disjoints, on peut commuter les transpos et donc engendrer la permutation du truc tout entier, c'est ça?

[adrien69]

Okay bah si je comprends, je vais noter t1 = (1, 2)
t2 = (1, 3)

Pour 1, je lui applique t2: 3
je lui applique t1: 3

Pour 2 je lui applique t2: 2
je lui applique t1: 1

Pour 3, je lui applique t2: 1
je lui applique t1, 2

(3 ; 1 ; 2)

Et pour l'autre je trouve un truc qui commence par (2 ; ..)

Si les supports sont disjoints, on peut commuter les transpos et donc engendrer la permutation du truc tout entier, c'est ça?

A priori non, c'est (3,2,1), t'as dû mal recopier.

Ben si les supports des transpositions sont disjoints, tu ne pourras jamais engendre les 3-cycles par exemple. Je ne comprends donc pas bien ta question.

[Lostounet]

Bon... moi non plus à vrai dire!!

Bonne nuit, et merci !