Groupe monogène

[MC91]

Bonsoir,

J'aurai aimé savoir pourquoi un groupe monogène est nécessairement commutatif.

Merci

[wserdx]

Bonsoir,
Les puissances de l'élément générateur commutent entre elles. Essaie de voir pourquoi.

[MC91]

Parce que on multiplie toujours les mêmes éléments ? (dans le cas d'un groupe muni de X)

[barbu23]

Parce que on multiplie toujours les mêmes éléments ? (dans le cas d'un groupe muni de X)

est un groupe monogène, s'il existe tel que :
Essaye de voir maintenant si deux éléments quelconque de commute ou non ?

[MC91]

est un groupe monogène, s'il existe tel que :
Essaye de voir maintenant si deux éléments quelconque de commute ou non ?

Si je prend a^k et a^b, avec k et b qui sont dans N, il est clair que a^k . a^b = a^b . a^k = a^(b+k).

Mais dans le cas d'un groupe muni d'une autre loi que la multiplication, cela marche-t-il? Ou est ce qu'un groupe monogène est nécessairement muni d'une loi de composition interne multiplicative?

[wserdx]

En effet dans un groupe, on peut choisir de noter la loi additivement ou multiplicativement, ça ne change rien.
Par analogie avec les entiers, on convient de noter

où est le nombre de fois où apparaît.
c'est à dire que et sont des notations, et n'est pas un entier, mais un élément "muet" du groupe.

[MC91]

Ce qui veut dire que si G est un groupe additif on a :


Autre chose, j'ai trouvé une définition sur wikipédia d'une partie génératrice d'un groupe. J'ai compris qu'une partie génératrice engendrait le groupe (en gros que tout élément du groupe peut s'exprimer en fonction d'élements de la partie génératrice, un peu comme une famille génératrice dans le cas des espaces vectoriels), mais la notation me laisse perplexe :

G est un groupe, S une partie de G.

= { x1^e1 x2^e2.....xn^en / n appartient à N et pour tout i, xi appartient à S, ei=+ ou - 1 }

Il n'est pas précisé si on prend un groupe additif ou multiplicatif, ça me perturbe un peu... On précise que contient les produits d'éléments ou d'inverses de S, je suppose donc que c'est un groupe multiplicatif mais je serai incapable d'exprimer pour un groupe additif...

Je pense qu'il y a quelque chose que je n'ai pas compris à ce niveau, si quelqu'un pouvait m'éclairer là dessus ce serait super.

[wserdx]

Oui.
La notation multiplicative

devient additive :

L'inverse devient l'opposé
Le choix de la notation de la loi de groupe dépend s'il existe une structure sous-jacente naturelle ou pas.
Par exemple
groupe des racines nième de l'unité : multiplicatif
groupe spécial linéaire (matrices inversibles) : multiplicatif
groupe des résidus modulo p : additif
groupe additif des réels :
groupe multiplicatif des réels
etc...
Si on parle d'un groupe de manière abstraite, alors on peut faire le choix d'une notation additive ou multiplicative. On précise alors la notation.
ou

[MC91]

Oui.
La notation multiplicative

devient additive :

L'inverse devient l'opposé
Le choix de la notation de la loi de groupe dépend s'il existe une structure sous-jacente naturelle ou pas.
Par exemple
groupe des racines nième de l'unité : multiplicatif
groupe spécial linéaire (matrices inversibles) : multiplicatif
groupe des résidus modulo p : additif
groupe additif des réels :
groupe multiplicatif des réels
etc...
Si on parle d'un groupe de manière abstraite, alors on peut faire le choix d'une notation additive ou multiplicative. On précise alors la notation.
ou

D'accord ! Et dans le cas d'un groupe additif, c'est à dire quand on obtient , on retrouve l'expression d'un sous espace vectoriel engendré... Avec les combinaisons linéaires.
Merci, c'est beaucoup plus clair maintenant !

[alm]

D'accord ! Et dans le cas d'un groupe additif, c'est à dire quand on obtient , on retrouve l'expression d'un sous espace vectoriel engendré... Avec les combinaisons linéaires.

Tu as raison sauf qu'il faut ajouter des combinaisons linéaires à coefficents entiers

Cette remarque a été deriére la notion de modules qui généralise la notion de espaces vectoriels


En gros si est un groupe commutatif on a comme les axiomes d'un espace vectoriel seulement au lieu d'un corps on a un anneau à savoir

Voila :

Pour et

Les quates autres axiomes étant ceux du groupe lui même.


La notion de module où et un anneau commutatif généralise donc la notion de -espace vectoriel.


Pour en savoir plus voir wikipedia par exemple
Pour approfondir, il y'a des livres connus là desssus.

[barbu23]

D'accord ! Et dans le cas d'un groupe additif, c'est à dire quand on obtient , on retrouve l'expression d'un sous espace vectoriel engendré... Avec les combinaisons linéaires.
Merci, c'est beaucoup plus clair maintenant !

On ne retrouve pas l'expression d'un sous espace vectoriel, mais d'un - module de type fini je pense.

[alm]

On ne retrouve pas l'expression d'un sous espace vectoriel, mais d'un - module de type fini je pense.

Si, barbu23, on a la notion de sous-module.
Ce qui ne resiste pas c'est la notion de base et de dimension etc....
C'est pour cela qu'on classifie les modules:
module libre, projectif , plat , de type fini etc ....

[MC91]

Exact, merci pour ces précisions.

[alm]

On ne retrouve pas l'expression d'un sous espace vectoriel, mais d'un - module de type fini je pense.

Type fini : pas toujours : exmple le groupe on peut dire qu'il est engendré par
On peut montrer qu'il n'est pas de type fini
c'est un excellent exo de sup
Je le reformule:
Prouver qu'il n'existe pas de partie finie de tel que soit engendré par