Groupe engenré et pgcd

[MoonX]

Bonjour,

Soit .
J'essaye de démontrer que si et alors dans Z/nZ (gr x désigne le sous groupe engendré par x et x barre la classe d'équivalence de x mod n).

Je sais qu'on peut écrire x = dy et d = ux + vn, mais je n'arrive à conclure, car je ne suis pas familier avec ces choses là...

Je vous remercie par avance

[Elias]

Ici, on parle du groupe (Z/nZ,+).

Donc le sous groupe engendré par, il contient 0, etc

Essaie de raisonner par double inclusion.

Si tu prends un élément de (sous groupe engendré par ), c'est qu'il s'écrit avec k entier.

[cette notation a une signification bien connue: si k est positif, c'est k fois et si k est négatif, |k| fois, je tiens à le préciser.]

Est - il dans ?? (sachant que x= dy avec y entier comme tu l'as écris)


Réciproquement, tu prends un élément dans , il s'écrit avec k entier.

Est-il dans ? (sachant que comme tu l'as écris, il existe u,v entiers tels que d = ux + vn. De plus, on utilisera le fait que bien sûr )

[MoonX]

Je vous remercie.

J'avais du mal surtout au niveau de la notation en effet, à visualiser comme il faut. J'ai toujours du mal cela dit mais déjà ça m'éclaire
est donc inclus dans ?
Mais un élément de est sous la forme . Mais les éléments de sont eux de la forme . C'est là que je "bloque". Si K est dans dy mod n, pourquoi serait-il dans d mod n ? Ou alors c'est pas du tout ça et j'ai mis "la barre trop loin" ?

[Elias]

Tu n'utilises pas ce que tu as écris (le théorème de Bézout).


Pour la 1ere implication: si tu prends un élément dans
Alors il s'écrit (k entier),
Donc il est bien dans

Attention à bien maîtriser le "" dans Z/nZ.

Si tu prends a et b entiers, alors par définition,

C'est ce qui me permet les barres enlevées ci dessus.



Si tu prends maintenant un élément dans , il s'écrit (k entier) car
Ici, j'ai repris tes notations du premier message.

[MoonX]

Merci pour votre réponse.

Je commence à comprend, j'ai même compris grâce à vous pourquoi d'un point de vu opératoire on a .
J'ai encore besoin d'un peu de temps pour que cela me semble "aller de soit" mais j'ai bien compris

Merci beaucoup pour votre aide !