Groupe dérivé (licence).

[Zebulon]

Bonjour à tous,
je n'arrive pas à faire cet exercice sur les sous-groupes ditingués. Pouvez-vous m'aider s'il vous plait?

Soit G un groupe. Un commutateur de G est un élément de la forme , avec a et b appartenant à G. Soit D(G) le sous-groupe engendré par les commutateurs, appelé le groupe dérivé.
Montrer que D(G) est distingué et que tout homomorphisme de G dans un groupe abélien se factorise par G/D(G).

Je n'arrive pas à faire la première question et je ne sais plus à quelles conditions un homomorphisme se factorise à travers un sous-groupe distingué...

Merci d'avance!

[abcd22]

Bonjour !
En fait on peut montrer la propriété plus forte : D(G) est stable par tout automorphisme de G : si est un automorphisme de G, en notant [a,b] le commutateur , , comme les commutateurs engendrent D(G) on a bien .
Pour pouvoir factoriser à travers un sous-groupe distingué il suffit que ce sous-groupe soit inclus dans le noyau du morphisme.

[Zebulon]

Pour pouvoir factoriser à travers un sous-groupe distingué il suffit que ce sous-groupe soit inclus dans le noyau du morphisme.

Ici, tout commutateur appartient clairement au noyau du morphisme avec G' abélien.

[Zebulon]

J'ai presque oublié de vous remercier! :we:

[Zebulon]

En fait on peut montrer la propriété plus forte : D(G) est stable par tout automorphisme de G : .

Je ne comprends pas en quoi celà implique que D(G) est un sous-groupe distingué de G. Pouvez-vous m'expliquer s'il vous plaît?

[Zebulon]

J'ai peut-une réponse :

On a montré (enfin... VOUS avez montré!) que . On veut montré que pour tout , , ie que pour tout et pour tout , .
Or : est un automorphime intérieur et on sait que D(G) est stable par automorphisme donc est à valeurs dans D(G) donc pour tout , donc D(G) est distingué dans G.

Est-ce correct?

[yos]

Oui c'est correct.
Distingué = invariant (globalement) par automorphisme intérieur.
Et D(G) est invariant par tout automorphisme.