Groupe commutatif

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Bonjour, voilà encore un exo sur les groupes qui me pose problème, parce qu'il y a une permutation et je ne sais pas comment la traiter.

Soit (G, . ) un groupe commutatif fini de cardinal n d'élément neutre e.
On pose G={x1 , x2 , x3, ..., xn} Soit a un élément de G

1) Montrer qu'il existe une permutation s de {1,2,....,n} telle que quel que soit i appartenant à {1,2,...,n}, xs(i)=a xi (le i et le s(i) sont en indice)

2) En déduire que a^n=e

[girdav]

Bonjour,
on peut introduire définie par . On montre que c'est une application bijective.

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oui ça je veux bien, mais je ne vois pas à quoi ça me mène ???? :cry:

[girdav]

On peut noter par l'application de dans qui à renvoie (avec la numérotation fixée). C'est une application bijective. On peut poser . On part de i, on compose par p on arrive à , puis à et renvoie l'indice correspondant.

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en fait je ne comprends absolument pas ce que représente cette permutation et ce qu'elle vient faire ici.

Je suis d'accord avec tout le raisonnement présenté précédemment notamment l'histoire des bijections, mais ce que je ne comprends pas c'est que
si on pose s=p^-1 ° t ° p, alors on obtient que
s(i)= i puisqu'on part de i , on a ensuite xi, puis axi, et p^-1 renvoie l'indice i.
Mais alors on n'obtient pas que
x indice s(i) = a xi comme on voudrait.

Alors je crois qu'il ya quelque chose que je n'ai pas dû bien saisir, mais quoi donc ?? :mur:

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et je ne sais pas comment en déduire que a^n=e, mais je suppose que ça découle de ce que je n'ai pas compris.

[girdav]

On applique à (et non à ) ce qui donne bien l'indice tel que .

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D'accord, maintenant je comprends ce problème. Merci
Mais j'ai beau chercher pour la suite, je n'arrive pas à aboutir à ce que a^n=e, j'ai bien compris qu'on devait avoir (xi)^n= (xs(i))^n si a^n est élémet neutre, mais je ne sais pas comment y arriver.