Groupe commutatif

[florian36]

Bonsoir,

J'étudie depuis le début de l'année les Maths de première année de licence par correspondance et je bloque sur certaines notions concernant les structures algébriques.

On considère les bijections f0; f1; f2; f3 de R* dans R* définies par f0(x) = x, f1(x) = -;)x,f2(x) = 1/x et f3(x) = ;)-1/x. Calculer les compositions deux à deux de ces bijections. On munit
l’ensemble G = {f0; f1; f2; f3} de la composition "o"des fonctions. Démontrer que G est un
groupe commutatif.

Concernant les compositions deux à deux je trouve successivement -x pour f0 o f1 puis -1/x puis à nouveau -x. Pour démontrer que G est un groupe commutatif, jusqu'à présent je montrais l'élément neutre, l'associativité puis l'élément inverse mais c'était pour montrer que (Q,+) est un groupe par exemple). Or ici je dois démontrer qu'un ensemble formé de bijections est un groupe, quel est la démarche à suivre ?

Je vous remercie (et joyeux Noel ;-))

[BiancoAngelo]

Bonsoir,

J'étudie depuis le début de l'année les Maths de première année de licence par correspondance et je bloque sur certaines notions concernant les structures algébriques.

On considère les bijections f0; f1; f2; f3 de R* dans R* définies par f0(x) = x, f1(x) = -;)x,f2(x) = 1/x et f3(x) = -1/x. Calculer les compositions deux à deux de ces bijections. On munit
l’ensemble G = {f0; f1; f2; f3} de la composition "o"des fonctions. Démontrer que G est un
groupe commutatif.

Concernant les compositions deux à deux je trouve successivement -x pour f0 o f1 puis -1/x puis à nouveau -x. Pour démontrer que G est un groupe commutatif, jusqu'à présent je montrais l'élément neutre, l'associativité puis l'élément inverse mais c'était pour montrer que (Q,+) est un groupe par exemple). Or ici je dois démontrer qu'un ensemble formé de bijections est un groupe, quel est la démarche à suivre ?

Je vous remercie (et joyeux Noel )

Bonjour,

La question a se poser, c'est G avec quelle loi ?
Evidemment, c'est (G, o) (la loi de composition des fonctions, "rond").

Vérifie que c'est bien interne (la composition fait retomber sur une d'entre elles...)
De la même façon, tu cherches l'élément neutre pour la loi.
L'associativité...
Et la notion d'inverse (on parle aussi de symétrique, on peut changer de vocabulaire selon les lois...).
Pour le +, symétrique va bien, pour le x, l'inverse, pour la composition, la réciproque...

L'intérêt de la notion de groupe est qu'elle se place d'un espace et qu'on lui associe une loi, et une fois vérifiés les axiomes de base, on peut "jouer" avec les éléments de la même façon... vraiment de la même...

Après, ça peut varier si, bien sûr, le groupe est abélien ou non... Ca change beaucoup d'ailleurs.

[nekochan]

Quand on a affaire à un groupe "petit", on peut construire explicitement sa table : on place en ligne et en colonne les éléments du groupe et dans chaque case la composition . La propriété de commutativité est alors caractérisée par la symétrie de la table selon sa diagonale principale.

[paquito]

Ce groupe a 4 éléments tous d'ordre 2 s'appelle le groupe de Klein; on obtient le même avec l'Id du plan,et , où d et d' sont 2 droites perpendiculaires passant par l'origine et, la symétrie de centre O comme le groupe des isométries laissant un segment globalement invariant(entre autres); l'autre groupe d'ordre 4 est le groupe cyclique( groupe des racines 4° de l'unité G={i,-1,-i,1}) et il n y'en a pas d'autres; l'ordre des éléments d'un groupe d'ordre 4 étant un diviseur de 4.

[Mikihisa]

Mon prof tilté a chaque fois qu'on lui dit "c'est le groupe de Klein!!"
Il nous sort avec son accent : "noonn!!!!!
Le groupe de Klein c'est le sous groupe de S4 des double transposition et rien d'autre "

[Ben314]

Et le groupe cyclique a n éléments, c'est l'ensemble des racines n-ièmes de l'unité muni du produit ou le quotient Z/nZ muni de + ?

[paquito]

Mon prof tilté a chaque fois qu'on lui dit "c'est le groupe de Klein!!"
Il nous sort avec son accent : "noonn!!!!!
Le groupe de Klein c'est le sous groupe de S4 des double transposition et rien d'autre "

Tous les groupes d'ordre 4 avec Id et 3 éléments d'ordre 2 sont isomorphes et sont appelés groupes de Klein; sinon, historiquement,le groupe de Klein est à l'origine de la notion de groupes. tous ces groupes munis d'une loi multiplicative "*" peuvent être notés G={Id, x, y, x*y} et sont tous qualifiés de groupes de Klein, sauf par ton professeur qui doit penser que Klein ne connaissait pas autre chose que S4! Sinon, un tel groupe est obligatoirement commutatif donc aussi abélien!(à moins qu'il n'existe qu'un seul groupe abélien).