Groupe et cardinal

[Impiger]

Voici un exercie tout court, mais je ne sais vraiment pas par quel bout le prendre :

Soit (G, . ) un groupe fini de cardinal 2n. Montrer qu'il existe un élément x de G diffrénet de l'élément neutre tel que x^-1=x

C'est cette histoire de cardinal qui m'embête car je ne vois pas ce qu'il peut nous apporter, même si je sais que c'est lui qui doit nous apporter la clé de la solution.

Mertci beaucoup !

[girdav]

Bonjour,
on peut travailler avec la relation d'équivalence si et seulement si ou . La classe de l'élément neutre contient un élément et si chaque élément différent du neutre est différent de son inverse, que dire de l'ordre du groupe?

[Nightmare]

Salut,

Dans ton groupe tout tes éléments sont symétrisables et chaque élément admet un unique symétrique. Du coup, pour compter les éléments du groupe, on peut les compter deux à deux en regroupant chaque élément avec son symétrique. Si aucun élément n'est son propre symétrique à part le neutre, on aura forcément un nombre impair d'éléments : Le neutre + (un premier élément et son symétrique) + (un second élément et son symétrique) + .... + (un n-éme élément et son symétrique) = 1+2+2+...+2 = nombre impair.

C'est bien entendu contradictoire avec le cardinal pair du groupe !

Edit : le message de Girdav dit exactement la même chose de façon plus formelle :happy3:

[Impiger]

OK , merci beaucoup, à tous les deux, mais j'avouerai qu'il est quand même plus facile de concevoir la méthode "moins formelle", d'abord, pour ensuite comprendre celle qui est plus formelle.
En tout cas, j'ai bien compris le raisonnement,
Merci infiniment !