Groupe, anneau, corps

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Bonjour a toutes et a tous,

Ca va peut etre pour paraitre stupide... mais il y a un point que je ne comprends pas tout à fait :

Quelle est la différence entre le groupe (R,+), l'anneau (R,+,x) et le corps (R,+,x). Je me sers des cours d'un prof de MPSI du lycée du parc (http://www.mathprepa.com) mais bien qu'il y ait une paragraphe pour chacun de ces termes, je n'ai pas encore très bien saisi leur véritable sens. Merci d'avance.

[MooMooBloo]

Ces trois "ensembles" sont les memes stricto-sensu... Ils contiennent les memes éléments. C'est simplement l'ensemble des nombres réels.
Mais ici on ne parle pas d'ensemble mais de structure algébrique.
En effet, lR est muni d'une structure de groupe pour l'addition: 0 est neutre et la différence de deux réels est encore un réel.On dit que (lR, +) est un groupe.
lR est aussi un anneaux pour l'addition et la multiplication usuelle: il vérifie les quatres conditions necessaires et suffisantes (que tu dois avoir dans ton cours), on dit que (lR, +, x) possède une structure d'anneaux.
Mais en plus de tout ca, tout réel X;)0 possède un inverse (symétrique pour la multiplication), c'est bien sur 1/X (en effet X.1/X = 1). (lR,+,x) est donc un anneau dont tous élément non nul est inversible pour la multiplication, c'est ce que l'on appelle un Corps.
On résume ces propriétés en disant que (lR,+,x) est un Corps commutatif (ie, AxB=BxA)

On considère ici un ensemble associé à une l.c.i. (loi de composition interne), il peut alors possèder une structure algébrique particulière. Par exemple, lR est aussi un espace vectoriel...
La lci est determinante dans la structure, par exemple: (Z,+) est un groupe alors que (Z,x) n'en est pas un (2 n'est pas inversible, 1/2 n'est pas un entier)

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Merci beaucoup pour ta réponse, avec ce que tu m'as dit et mon cours j'ai pu faire le rapprochement et tout est beaucoup plus clair maintenant. En fait, je n'ai qu'un "résumé" de cours donc les conditions ne sont pas données explicitement bien qu'elles soient toutes présentes.
Si j'ai bien compris, (R,+) est un groupe car
-la loi + est associative (x+y)+z=x+(y+z)
-il y a un neutre qui est 0
-tout élèment de (R,+) possède un symétrique qu'on appelle "opposé" pour l'addition.
Il faut donc ces trois conditions si je ne me trompe pas. Merci beaucoup encore une fois. :) J'ai compris comment ca fonctionnait donc je me débrouillerais pour le reste. :d

[MooMooBloo]

Oui tout à fait pour définir un groupe il faut et il suffit ces trois conditions, mais elles peuvent, comme je les fais plus haut, etre "condensés" en seulement 2:
-existence d'un élément neutre (à gauche et à droite, ce qui implique en outre, qu'il est unique)
-pour tout réels x,y , x-y est réel

[LEX]

Ah d'accord, merci pour la précision :).