Anneau integre fini=>corps

[inconnu75]

Bonjour, j'ai trouvé une démonstration pour ce résultat, mais le problème c'est que je n'utilise pas, l'intégrité de l'anneau. Pourtant elle m'a l'air correcte.
Merci de me dire ou est l'erreur ou où on utilise le fait que l'anneau est intègre svp.

Voici la démo :

Soit un anneau integre fini.
On peut écrire
On pose
Puisque est interne,
Et comme , on a
Donc
Soit : et ceci quel que soit k. QED.

[Arkhnor]

Bonsoir.

Comment prouves-tu que ? Ou en d'autres termes, comment prouves-tu que si ?

En particulier, tu vas te rendre compte que c'est vrai uniquement lorsque . (ça ne te choque pas que ta démo puisse donner un inverse à ?)

D'autre part, une fois ce problème réglé, tu as prouvé l'existence d'un inverse à droite pour tout élément non nul. Il faut aussi prouver l'existence d'un inverse à gauche, mais ça suit exactement les mêmes lignes que ta preuve.

[inconnu75]

Ah oui c'est tout bête je n'avais pas pensé à montrer qu'ils sont tous distincts !
Et en effet tu as raison pour l'inverse à droite j'y ai pensé mais vu la nature de ma question et l'entiere symetrie de la preuve je n'ai pas jugé utile de le noter :)

Merci beaucoup Arkhnor en tout cas !