Géométrie algébrique

[ludo56]

Bonjour,j'ai cette année un module de géométrie algébrique qui me pose beaucoup de problèmes.En effet n'ayant jamais fait de géométrie projective je nage complètement!
Je demande donc votre indulgence !
Afin de m'entrainer pour l'examen,on me propose un exercice (que je donnerai au fur et à mesure pour ne pas avoir un énoncé trop long !

Soit C une courbe non singulière de degré n d'équation F .
Rappelons que si D et D' d'équations G et G',on note D+D' la courbe d'équation G.G'.

1.Montrer que si à ,on a pour multiplicités :
.
En déduire que F est irréductible.

2. Soit a = [0 : 1 : 0] à .
Pour , on considère l'ensemble {}.
Montrer que est une droite de passant par a.
Est-ce que l'ensemble des pour à décrit toutes les droites de passant par a ?

Voila pour un début !

Donc pour ma part j'ai trouvé sans problème la première partie de la question 1 à savoir de montrer que .
Pour montrer que F est irréductible j'ai fait un truc mais je suis pas sur :
Je suppose F réductible par ex F = G.H .
Puisque la courbe est non singulière (ce qui veut dire sans point singulier je suppose) alors pour tout C .
Mais F= G.H donc . Contradiction.

Question : si F est singulière, est-ce que s'est composantes irréductible le sont ?

Pour la deux je ne vois pas du tout,je pense qu'il faut expliciter l'équation de la droite mais bon ...

Merci d'avance pour votre aide

[mathelot]

bonjour,

il ne faut pas perdre l'aspect intuitif,ie géométrique, de la géométrie projective.
Les "points" de l'espace projectif sont des directions de droites
car ces points sont des classes du quotient,via la relation d'équivalence ssi dans

on peut travailler dans des cartes locales de l'espace projectif, qui sont autant de plans affines.

En particulier, l'équation d'une courbe algébrique se "remonte"
en une équation dans ,via les coordonnées homogènes, et la surjection canonique (espace quotient).

Quand on "remonte" une courbe dans , on voit que l'addition D+D' ressemble à une réunion ensembliste et que ça correspond , en coordonnées homogènes, à une équation produit nul
ab=0 ssi a=0 ou b=0

ceçi d'autres forumers donneront des explications plus précises, plus techniques...

[mathelot]

re,

c'est intéressant. comme j'y connais rien, mon point de vue sera naïf.

si on considère une courbe algébrique de .
est une surface. Localement, il y a un couple
de coordonnées (x,y) qui paramètre le point M de la courbe.

Entre elles, les coordonnées vérifient une relation algébrique.
Par exemple

Comme est un espace quotient,
on remonte cette équation en une équation homogène dans







On voit que l'on obtient un polynôme homogène dans ,les coefficients sont définis à un facteur près,
donc un élément de l'espace projectif des polynômes.

A la réunion ensembliste de deux courbes va correspondre l'équation
produit nul des deux polynômes,ie, le produit des deux polynômes,
obtenu par un produit de convolution sur les coefficients.
(PQ)(x,y,z)=0
ce produit
passe au quotient dans l'espace projectif des polynômes, et va donc définir,
par dualité (locale) , un produit dans l'espace projectif des polynômes.

Y a plusieurs souçis:
i) l'équation d'une courbe du plan projectif est sûrement locale, car elle se voit dans une carte.
est-ce que l'on peut "recoller" le produit effectué entre (classes de polynomes) pour obtenir une loi de composition globale dans l'espace projectif des polynômes. ça n'a pas l'air certain.
ii) Pour un seul nombre réel donné , l'ensemble des polynômes P qui s'annulent sur est un idéal principal de



malheureusement, à partir de deux indéterminées, les idéaux de polynômes
qui s'annulent en un point
cessent d'être principaux.


iii) il y a encore d'autres problèmes:
il n' y a pas de raisons de privilégier un paramètrage du plan projectif plutot qu'un autre, et une courbe de points de change d'équation dès que l'on
change de paramètrage.

j'espère ne pas avoir écrit trop de bêtises et que Léon et Yos
(pour ne pas les citer) te donneront tous les infos d'algèbre nécéssaires. :zen:

[Doraki]

Pour le 1, il faut que tu montres que si la courbe est réductible en G.H,
alors il existe un point x qui est à la fois dans G et H, et donc mx(F) > 1 donc x est un point singulier de F. Mais faut dire pourquoi x existe.

Pour le 2, il faut en effet que tu regardes les équations des droites en question.
(les équations de droite c'est les ax+by+cz = 0 avec (a:b:c) dans P²(C))

[ludo56]

Merci bien à tout les deux pour votre aide !
Comment puis-je expliciter les equations de droites à partir d'un point [ :t:1] appartenant à l'espace projectif ?

[ludo56]

En fait en insistant un peu je trouve comme équations



ca parait honnête ?

[ludo56]

Zut je pense pas puisque du coup le point a ne vérifie pas ces équations...

[Doraki]

En fait en insistant un peu je trouve comme équations



ca parait honnête ?

Tes équations sont moches.
Tu es dans un espace projectif, donc tu n'as aucune excuse pour avoir osé mettre une division.

P²(C) est une variété de dimension 2, l'équation d'une droite, c'est comme dans le plan, c'est donné par une seule relation linéaire entre les coordonnées.
Tu n'es pas dans l'espace où là il faut 2 équations simultanées pour décrire une droite.

mu*z - x = 0 et t*z - y = 0 sont deux belles équations de droites, sauf que la deuxième ne veut rien dire vu que t n'existe pas.

mu*z - x = 0 est bien l'équation de la droite en question.
Tu peux vérifier que (0:1:0), ainsi que tous les (mu:t:1) avec t quelconque vérifient cette équation.

[mathelot]

Pour le 1, il faut que tu montres que si la courbe est réductible en G.H,

Doraki,

Est-ce que pour une courbe de , c'est à dire un ensemble de points qui a une structure différentiable,bon bref, tout le monde sait ce qu'est une courbe,
est ce qu'une courbe a une équation locale, vérifiée dans une ou plusieurs cartes,
ou au contraire, une courbe a une équation globale, valide sur
l'ensemble de l'espace projectif ?

Il me semble qu'en dimension 3, l'application
ne conserve pas l'orientation . Conséquence n'est pas orientable.
Est-ce que cela empêche une courbe de posséder une équation globale ?

autre question:
Quand on remonte l'équation de la courbe en un polynôme homogène
de , y-a-t-il une manière canonique
d'ordonner les n-uplets de ses coefficients ?

De plus , a-t-on intéret à étudier l'orbite du polynôme homogène sous l'action de GL(3) , dans un espace vectoriel de polynômes homogènes de même degré ?
Les changement de cartes étant fonctions homographiques
des coordonnées, se remontent en changement linéaire
et bijectif de coordonnées dans
et les isomorphismes tranforment un polynome homogène d'un système
de coordonnées en un polynôme homogène de même degré
pour d'autres coordonnées.

[Doraki]

Non, moi je sais plus ce que c'est qu'une courbe.
Ptetre bien une sous-variété localement de dimension 1.

Si tu parles de variétés quelconques pas affines, quand tu parles d'équation ça ne peut être que local, vu que des équations globales justement ça n'existe pas. Donc c'est pas le genre de truc à chercher.

Dans P²(C) on peut parler des courbes qui annulent certains polynômes homogènes, mais en fait, ces polynômes ne sont pas des fonctions. C'est juste qu'on peut quand même parler de leurs zéros.
Il n'y a pas de fonction non constante définie globalement sur P²(C), mais il y a cet ensemble des polynômes homogènes en 3 variables qui permet quand même de parler de courbes de manière globale.

Pour l'orientation, je dirais bien que en effet P²(C) n'est pas orientable même si je sais pas ce que ça veut dire. Une droite ne sépare pas P²(C) en deux morceaux bien séparés, vu que 2 droites projectives (et quand je dis droite, topologiquement c'est plus des cercles hein) quelconques se coupent en 1 seul point et pas 2.

Sinon, pour l'action de PGL3(C) sur l'anneau des fonctions de P²(C), oui si tu peux annuler un ou deux coefficients de tes polynômes avec, autant en profiter, ça simplifie.