Géométrie affine

[MacManus]

Bonsoir,

Quelqu'un aurait-il l'amabilité de bien vouloir m'aider à terminer cet exercice ?


1. Déterminer les équations cartésiennes qui définissent la symétrie par rapport à la droite D: x+y=1 et parallèlement à la direction (2, 1).

2. On note la translation de vecteur (1, 1).
Quels sont les éléments caractéristiques
de la composée g = ° ?

3. Déterminer pour tout n Z l’itérée n fois de g :

Question 1. (OK)

soit X' le vecteur colonne (x',y'), X le vecteur colonne (x,y), B le vecteur colonne (4/3 , 2/3) et A = la matrice associée à la partie linéaire
On a donc : X' = AX+B et est une application affine.
A est la matrice d'une symétrie centrale.

Question 2.

est-elle une dilatation ? (n'est pourtant pas une homothétie suivie d'une translation ?)
...symétrie glissée ?...

si j'applique d'abord suivie de la translation ,
est-ce que je fais la somme des vecteurs (colonnes) et pour avoir g ?? :hein:

Question 3.

Je veux bien éventuellement un indice...

Et enfin je vous remercie en tout cas de bien vouloir m'aider !

[yos]

Le déterminant de A étant -1, je crois pas que c'est une symétrie centrale. D'ailleurs ça peut pas être une isométrie.
Sinon pour avoir g, tu rajoutes le vecteur colonne à B.

[MacManus]

Merci pour ta réponse Yos et je suis d'ailleurs du même avis que toi!

La géométrie me surpasse en ce moment. C'est pourquoi j'ai de nouveau quelques questions à vous poser si vous le voulez bien...

Soit qui à tout x associe f(x), le barycentre des points

1. Montrer que f est affine et calculer sa partie linéaire.
2. Tracer son image.

1. f est affine ssi elle préserve le barycentre :
donc en toute généralité : et (G barycentre des Ai )

ici : f(x) est le barycentre de A,B et C.
est-ce qu'il est possible d'écrire : ???

Je ne vois pas trop comment m'en sortir.... :hein:
quelqu'un pourrait-il m'aider ?

2. nécessite la question 1. je présume...

Merci beaucoup de bien vouloir me donner un coup de main.

[yos]

est-ce qu'il est possible d'écrire : ???

Oui, ou bien pour tout point O.
Tu en tires en fonction du vecteur (on est dans R).
Si tu arrives à où ne dépend que de A,B,C, cela prouve que f est affine et que la partie linéaire vérifie .

[MacManus]

Oui, ou bien pour tout point O.

Je suis d'accord. Tu as vectorialisé au point O en fait!

Tu en tires en fonction du vecteur (on est dans R).

Je peux écrire alors que :

cad :
Donc dans R on a bien :
??

Si tu arrives à où ne dépend que de A,B,C, cela prouve que f est affine et que la partie linéaire vérifie .

Le vecteur représenterait ainsi la partie linéaire de f, cad pour toi (ou pour moi) ??

[yos]

Oui c'est ça, à l'exception des valeurs absolues que je ne comprends pas.
A vue de nez, u=3AB-AC.

[MacManus]

Mais pour avoir u = 3AB-AC, tu pars de et tu utilises la relation de Chasles par exemple sur OA, OB ou OC ?? D'où j'immagine un dessin possible après...

merci!