Géometrie affine

[jeremy58]

Bonjour,

Je suis en train de travailler sur un exo de géometrie et la fin me pose probleme.

En résumé, on a une bijection affine f et s une symetrie par rapport à le droite d d'eq x=-2, parallelement à la droite d' d'equation y=3/2 x +4.

Je dois montrer que s g est une involution affine

Pour repondre à cette question, j'ai calculé
( s g)( s g) (M) et je trouve M donc d'apres moi c'est bien une involution.

Ensuite on me demande de preciser sa nature et la je ne sais pas quoi faire.
Je pense qu'il faut utiliser la caracterisation de s mais je ne comprends pas tres bien cette symetrie.

Pourriez vous m'aider?
Merci

[yos]

Bonjour.
Tu peux regarder .

[jeremy58]

Alors si je ne me trompe pas,
me donne une droite (grace aux reste de mon exo).
Mais est-ce que s(d)=d? car je ne comprens pas bien cette symetrie.

[yos]

Une droite ?? C'est bien le moins pour des applications affines! Mais quelle droite?
Oui s(d)=d donc on a clairement :

[jeremy58]

Je trouve bien (d), mais en reliant avec le reste de moon exo je trouve que c'est une droite.
En fait au debut de l'exo, on me donne de montrer que g est une unique bijection affine tq g(0)=B, g(A)=A', g(B)=B'. ensuite on definit un point C'=g(C)et on me demande les images par g des droites (OB) et (OC).
Comme g(O)=B et g(B)=B' alors l'image de (OB) par g est (BB'). et il se trouve que (BB') est en fait la droite d.
Du coup, (d) est la droite (OB).
Mais je ne comprends pas tres bien ce que ce calcul me permet de deduire sur la nature de mon involution

[yos]

Je trouve bien (d), mais en reliant avec le reste de moon exo je trouve que c'est une droite.

C'est ce que j'ai dit. De toute façon l'image d'une droite par une bijection affine est une droite donc c'est pas ça qui est intéressant. Ce qui est intéressant, c'est quelle droite! Et on a trouvé que g^{-1}(d) est invariante par ton involution que j'appellerai h. Donc c'est bien parti pour que h soit également une symétrie. Il te reste à prouver que la direction de la droite(Mh(M)) est fixe. Peut-être est-ce la direction de g^{-1}(d')? Il faut regarder.

[jeremy58]

Je suis désolé mais j'ai encore des petits soucis.
D'apres le reste de mon exo j'ai g(x,y)=(1/2x+y-2 , 1/2x+2y+1).
donc avec M(x,y)
(M) = (1/2x+y-2 , 1/2x+2y+1)
mais apres j'ai toujours le probleme avec cette symetrie!
Apres je sais que je dois calculer le vecteur Mh(M), mais je ne peux le faire sans la fin du calcul precedent.
Je crois que je suis perdu, je m'embrouille totalement.
Merci

[jeremy58]

Bonjour,
n'ayant pas resolu mon pb depuis l'autre jour, je relance le sujet pour demander si quelqu'un peu m'aider.
Merci

[yos]

Bonjour.
Si tu me caches pas des questions, je pense que tu peux chercher les formules analytiques de s. Et en déduire celles de h.

Pour s, le milieu de [Ms(M)] est sur d, donc (x+x')/2=-2, donc x'=...
De plus (MM')//d' et tu dois en tirer y' en fonction de x et y Je trouve y'=-3x+y-6 mais faut vérifier.

[jeremy58]

bonjour,
Merci de m'avoir repondu.
Donc en fait en faisant ce calcul, on trouve les coordonnées d'un point transformé par la symetrie. s(M) est de coord x' et y'.
J'ai fait le calcul et j'ai du me trompé, je ne trouve pas pareil mais x'=x-4 et y'=y-6 mais x se simplifie!

[jeremy58]

non en fait c'est bon, je m'etais trompé au niveau de x'. Donc je trouve bien y'=-3x+y-6.

[yos]

je ne trouve pas pareil mais x'=x-4 et y'=y-6

Ca c'est la translation de vecteur (-4,-6).

[jeremy58]

et si je ne me suis pas trompé, je trouve h(M)=(-2y-36,-1/2x+4)

[jeremy58]

J'ai donc calculer le vecteur Mh(M) et je trouve (-1/2x-y-18,-1/2x-y+4), ca ne veut donc pas dire que la direction est fixe?

[yos]

h(M)(-2y, -(1/2)x) et pour la direction de Mh(M) c'est bien fixe (celle de (2,1)).