Géométrie affine : affinités...

[jeje56]

Bonjour,

Soient dans le plan deux affinités , de base , de direction , de rapport et , de base , de direction , de rapport

Question : trouver une CN sur les bases et directions pour que ces affinités commutent

Voici la rédaction :

Hypothèse :
Alors : ( et étant les applications linéaires associées à et )

Soient la projection sur de direction et la projection sur de direction

Première interrogation : pourquoi peut-on écrire : ?

Merci bcp d'avance !

[yos]

pourquoi peut-on écrire : ?

Je le fais à la main :
Prends A sur et B tel que .Note K le projeté de B sur parallèlement à .
.
Et comme ,...

[jeje56]

Salut Yos, merci pour ta réponse, j'ai compris

Je poursuis l'exercice :



Après calculs de et , j'arrive à l'équivalence :


Je continue : ssi (P)
avec base du plan

(P) ssi et

(P) ssi et
ssi et sont des vecteurs propres de

Je ne comprends par la dernière équivalence... Merci bcp !

[yos]

signifie qu'i existe un réel tel que (puisque dirige ).

[jeje56]

Exact, c'était évident... :hum:

Pour la suite, on distingue alors deux cas :

dirige et dirige (1) ou
dirige et dirige (2)

Je ne comprends pas bien ces cas... Quel lien avec le fait que et sont de ?

Merci !

[yos]

Pour un projecteur p, tu as , c'est-à-dire qu'il n'a que deux valeurs propres (0 et 1) et que les espaces propres associés sont ker p (la direction de projection) et Im p (l'espace de projection).

[jeje56]

Merci, j'y vois plus clair...

J'ose une dernière question : comment montrer que ker(p-id)=Im(p) ?

Merci !

[yos]

entraîne p(x)=x, donc .
Réciproquement, un élément x de Im p s'écrit p(t) donc p(x)=pop(t)=p(t)=x.

En effet, on peut prendre pop=p comme définition d'une projection.

[jeje56]

Ca marche, merci à toi yos

La suite de l'exercice consiste à trouver une CS sur les bases et directions pour que et commutent... Je reprendrai ceci demain

Bonne soirée !