Générateur d'un groupe multiplicatif

par **rain** » 15 Déc 2009, 12:46

Bonjour, j'essaie de trouver les éléments primitifs de Z/9Z mais j'y arrive pas.
Pour un corps comme Z/7Z, c'est les éléments premiers à 6, mais là je sais pas, car 3 est premier à 8, mais 3^2=0, donc je bloque. Quelqu'un pourrait me dire comment faire svp?

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 12:55

Qu'appelle tu "éléments primitifs de Z/9Z" ? ( contrairement à 7, 9 n'est pas premier...)

De plus, dans le cas de Z/7Z, le coté "être premier à 6" me parrait... un peu bizare. Pense tu que 1 (qui est premier avec 6) soit un élément primitif ?

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:01

Ben314 a écrit:Qu'appelle tu "éléments primitifs de Z/9Z" ? ( contrairement à 7, 9 n'est pas premier...)

Un élément primitifs c'est un générateur du groupe multiplicatif d'un corps. Et j'ai bien vu que 9 est pas premier, c'est là le problème d'ailleurs, je vois pas comment faire. D'ailleurs j'ai un doute pour savoir si un élément d'un groupe cyclique est un générateur il suffit bien de regarder s'il est premier à l'ordre du groupe?

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:02

Comment tu fais pour savoir les éléments primitifs de Z/7Z alors?

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:06

Je pense que tu mélange un peu deux choses :

Pour qu'un élément a de Z/nZ soit un générateur du groupe additif (Z/nZ,+) (i.e. que tout les autres éléments s'écrivent k.a avec k dans Z)
il faut et il suffit que a soit premier avec n.

Pour qu'un élément a de (Z/nZ)* (ensemble des élément inversible de Z/nZ) soit un générateur du groupe multiplicatif ((Z/nZ)*,x) (i.e. que tout les autres éléments s'écrivent a^k avec k dans Z)
il faut et il suffit que ... on ne sait pas trop en général...
(en plus, le groupe multiplicatif (Z/nZ)* n'est pas forcément cyclique : essaye de voir qui est (Z/8Z)* et vérifie qu'il n'est pas cyclique)

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:10

Par exemple, pour trouver les générateurs de (Z/7Z)* (je te conseillerais de mettre l'étoile...), tu peut :
1) Prévoir combien il va y en avoir (ici il y en a 2 pourquoi ?)
2) Constater que, comme l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, tout élément de (Z/7Z)* est d'ordre 1,2,3 ou 6. Pour qu'un élément x soit générateur, il faut et il suffit qu'il soit d'ordre 6 et, pour le vérifier, il suffit de montrer que x^2 et x^3 sont différents de 1.

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:15

En effet je confondais c'est 2 choses, ça m'éclaircit pas mal de chose d'ailleurs. Donc pour trouver un générateur du groupe mult de Z/7Z faut chercher en prenant les puissances des éléments, jusqu'à en trouver un d'ordre 6. Pareil pour Z/9Z alors, faut multiplier un élément jusqu'à en trouver un d'ordre 8. Donc c'est pas facile en faite pour de ordre plus grand.

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:19

Ben314 a écrit:Par exemple, pour trouver les générateurs de (Z/7Z)* (je te conseillerais de mettre l'étoile...), tu peut :
1) Prévoir combien il va y en avoir (ici il y en a 2 pourquoi ?)
2) Constater que, comme l'ordre d'un élément divise l'ordre du groupe, tout élément de (Z/7Z)* est d'ordre 1,2,3 ou 6. Pour qu'un élément x soit générateur, il faut et il suffit qu'il soit d'ordre 6 et, pour le vérifier, il suffit de montrer que x^2 et x^3 sont différents de 1.

Donc 5 et 3 générent (Z/7Z)*.

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:23

Quelques éléments de réponses :
1) Tu as peut être vu un théorème qui dit que, si p est premier alors le groupe multiplicatif (Z/pZ)* est forcémént cyclique et que l'on sait combien il a de générateurs...
2) Par contre, il me semble qu'il n'y a pas de "recette miracle" pour déterminer les générateurs dans le cas général (seulement de petites astuces)
3) Dans le cas d'un Z/nZ avec un n pas forcément premier, il faut comprendre que (Z/nZ)* n'est pas Z/nZ privé de 0. Par exemple (Z/9Z)*={1,2,4,5,7,8} (i.e. les éléments inversibles de Z/9Z) cela explique que 3 ne risque pas d'ètre un générateur... il n'est pas dedans !!!
4) Il existe un théorème (mais je ne sais pas si tu l'as vu) qui donne la structure de (Z/nZ)* et en particulier permet de savoir s'il est cyclique ou pas. Par exemple (Z/9Z)* est cyclique, mais pas (Z/8Z)* : essaye de le montrer "a la main".

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:25

rain a écrit:Donc 5 et 3 générent (Z/7Z)*.

Tout à fait. Tu peut même t'amuser à écrire
1=3^? ; 2=3^? ; 3=3^? ; ...

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:31

Que (Z/pZ)* est cyclique si p premier j'ai vu, mais pour savoir le nombre de générateurs je crois pas ou je m'en souviens plus, c'est pas l'indicateur d'Euler?

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:34

rain a écrit:Que (Z/pZ)* est cyclique si p premier j'ai vu, mais pour savoir le nombre de générateurs je crois pas ou je m'en souviens plus, c'est pas l'indicateur d'Euler?

Oui, c'est ça : c'est l'indicatrice d'Euler de p-1 (et pas de p car, si p est premier alors (Z/pZ)* est Z/pZ privé de 0 et donc il contient p-1 éléments)

par **rain** » 15 Déc 2009, 13:49

Mais l'indicatrice elle donne le nombre de premiers inférieurs à p, mais tu disais que c'était pour les groupes additifs que les premiers à l'ordre du groupe sont générateurs. C'est bizarre non ? ou j'ai rien compris?

par **Ben314** » 15 Déc 2009, 13:57

Le fond de l'histoire, c'est que, une fois que l'on a montré que (Z/pZ)* est cyclique, cela signifie que le groupe multiplicatif ((Z/pZ)*,x) est isomorphe au groupe additif (Z/(p-1)Z,+) dont on sait que le nombre de générateurs est donné par phi(p-1).
Si tu veux un exemple pour mieux comprendre, vérifie que l'application f de Z/6Z dans (Z/7Z)* définie par n -> f(n)=3^n est
1) bien définie (i.e. si on change n modulo 6, cela ne change pas le résultat et que f(n) est bien dans (Z/7Z)* )
2) bijective
3) c'est un morphisme de (Z/6Z,+) sur ((Z/7Z)*,x) ce qui veut dire que f(n+m)=f(n)xf(m) et que f(-n)=f(n)^(-1).

Bien évidement, à la place du 3, on peut prendre 5 (i.e. n'importe quel générateur de (Z/7Z)*)

par **rain** » 15 Déc 2009, 14:20

OK merci pour ton aide tu m'as bien aidé.

par **mido1983** » 13 Jan 2010, 09:43

comment savoir qu'un groupe est multiplicatif
:cry:

Générateur d'un groupe multiplicatif

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