Galois

[simplet]

Bonsoiir,
eh beh décidement, j'ai du mal avec Galois :-)

Alors j'ai une petite question tirée d'une interro et je n'y arrivve paass...
la voilà telle quelle:

"Soit un polynome P de K[X] de degré n. Soit L son corps de décomposition. On suppose [Gal(L/K)]=n!
Dire pourquoi P est irréductible et L galoisienne".

Pour la premiere j'ai tenté par l'absurde, mais ca n'a rien donné (pour moi en tout cas, parce que je pense que c'est le bon départ)
une chtite aide??

mercii

[yos]

Si P=QR, avec deg(Q)=q>1, deg(R)=r>1, on a L qui est le produit des corps de décomposition de Q et de R (de degré au plus q! et r! respectivement sur K) et comme q+r=n, on a q!r!=q!(n-q)!Pour la seconde question (bizarre car on parle du groupe de Galois dans l'énoncé avant d'avoir prouvé que c'est galoisien), on sait que L est un corps des racines sur K (corps de déc.) et il te manque la séparabilité : si K est une extension de Q, c'est acquis, sinon faut voir.

[simplet]

J'avais en effet commencé comme toi avec Q divise P, mais je n'avais pas tenu compte de R.

Je pense qu'il a utilisé Gal(L/K) pour les automorphismes de L au dessus de K... mais j'aurais préfére qu'il utilise une autre notation.

En tout cas merci de me répondre (a chaque fois)

bonne soirée... et bonnes vacances , moi j'arrète les frais jusqu'à janvier :zen: !!