Fraction rationnelle et trigo

[jonses]

Bonsoir,

J'essaye de faire un exercice sur les fractions rationnelle mais je bloque vraiment :

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Je dois montrer que :

pour tout entier naturel :

il existe une fraction rationnelle telle que la fonction , qui à tout réel de son domaine de définition associe , vérifie pour tout de :



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Je penser au début procéder par récurrence, mais je me suis rendu compte qu'il fallait que je détermine au moins le domaine de définition de cette fonction selon l'entier naturel

Pour n=0, 1 ou 2 c'est pas bien compliqué d'expliciter , mais en revanche pour j'ai vraiment du mal.


Ensuite si jamais j'arrive à expliciter , il me restera toujours un certain nombre de problèmes :

dans ma récurrence j'utilise la formule de trigo :

Or (avec des notations rapides) si je note (avec dans ), je peux écrire :



mais pour ça il faut aussi que soit aussi dans , ce qui rajoute des points à étudier à part (je pensais à la rigueur utiliser un argument de continuité, mais avec un peu de recul je vois pas trop comment bien procéder)


Enfin, j'ai essayé de voir comment je peux écrire sous forme de fraction pour n=1,2,3 et 4, mais je ne trouve pas vraiment de motif évident pour conjecturer quelque chose (après j'ai peut-être fait des erreurs de calculs, c'est pas exclu)


Si quelqu'un peut m'aider svp
Je vous remercie d'avance

[Doraki]

ooh ooooh je sais je sais !
il faut prendre Dn = l'ensemble vide !!

Sinon je comprends pas ton problème.
Pour décrire une fraction rationnelle, tu écris un quotient de polynômes et tu te contrefiches de son ensemble de définition. Tu n'en as pas besoin pour définir Pn.

Si tu poses P0 = 0, P(n+1) = (Pn + X) / (1 - Pn * X) comme te le hurle ta formule d'addition,
il est clair que ta fraction rationnelle P(n+1) vérifie l'équation demandée sauf peut-être là où elle n'est pas définie ou alors là où elle est définie mais pas Pn par un coup du mauvais sort, ou encore là où Pn ne vérifie pas l'équation demandée.
Dans tous les cas au pire un nombre fini de points ne vérifient pas l'équation. Et par continuité des deux fonctions, y'a moyen que rien de tout ça ne se produise...

Bien sur, t'as pas besoin de faire ça si tu montres (par récurrence si tu veux) l'évidence même, à savoir que
Pn n'est pas définie en x <=> Pn tend vers l'infini autour de x <=> x = tan(kpi/2n) avec k impair

Du coup pour un tel x dans la formule, P(n+1) tend vers -1/x en x et donc P(n+1) est bien définie et vaut -1/x en x, ce qui est la valeur attendue puisque tan((n+1)(kpi/2n)) = tan(kpi/2+kpi/2n) = tan(-pi/2 + kpi/2n) = -1/tan(kpi/2n).
Et donc P(n+1) n'est pas définie aux endroits où sont dénominateur s'annule c'est à dire lorsque x=tan(t) et tan(t) * tan(nt) = 1, ce qui est bien sur équivalent à (n+1)t = pi/2 mod pi

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Sinon en vrai, on comprend une fraction rationnelle comme une fonction de R u { infini } dans R u { infini }, la formule d'addition des tangentes y reste valide quand on définit correctement (i.e. continument) ce qui se passe quand l'un ou l'autre ou la troisème tangente est infinie, et on a plus aucun problème d'ensemble de définition.

[mrif]

Pour te débarrasser du domaine de définition, tu peux faire la récurrence sur tan(nx), qui est définie pour tout x, au lieu de.
On établit par récurrence que
On en déduit:


Rectif: la fonction x --> tan(nx) est définie pour , mais la fonction qui à x associe tan(n*arctan(x)) est définie sur Dn

[wserdx]

Il suffit de poser où et sont deux polynômes.
On peut choisir de définir par récurrence

,
pour satisfaire la propriété demandée.
et sont de degré au plus . Pour être sûr que tout soit bien défini il suffit de prendre pour privé de l'ensemble des racines de (au plus points).

[wserdx]

J'ai creusé un peu pour comprendre quel problème posait l'ensemble de définition . En fait il peut tout à fait être défini indépendamment de la fraction rationnelle .
est en effet privé des valeurs pour les valeurs de k entières telles que . Ces valeurs sont donc exactement les racines du polynôme que j'ai introduit précédemment. Une analyse plus détaillée montre que le terme de plus haut degré de est et celui de est . Ces deux polynômes sont donc de degré et ont bien chacun exactement racines réelles.