Décomposition en éléments simples d'une fraction rationnelle

[Nul64]

Bonsoir,
Voici la fonction rationnelle à décomposer F(x)=x²/((x-2)²(x²+1)²).
J'aimerai avoir un avis sur ma décomposition si elle est juste ou fausse et sur la méthode.
Ce que j'ai fait : F(x)= a/(x-2) + b/(x-2)² +(cx+d)/(x²+1) + (ex+f)/(x²+1)²

1) F(x)(x-2)² puis x=2 d'où je trouve b = 4/25
2) f(x)(x²+1)² puis x=i d'où je trouve ei+f=-3/25 -4i/25 soit e=-4/25 et f=-3/25
3)limF(x)_x-->+infini=0=c/x +e/x d'où c=-e=4/25
4)limF(x)*x_x-->+infini=0=a+c+e d'où a=-e-c=0
5)F(0)=a/-2+b/4+d+f=0 d'où d=-4/25

Soit : F(x)=(4/25)/(x-2)²+((4/25)x-(4/25))/(x²+1)+((-4/25)x-(3/25))/(x²+1)²

Merci de m'aider.

P.S : Si vous pouvoir m'expliquer la méthode des puissances décroissantes ce serait gentil.

Merci.

[Robot]

3)limF(x)_x-->+infini=0=c/x +e/x d'où c=-e=4/25
4)limF(x)*x_x-->+infini=0=a+c+e d'où a=-e-c=0

Ca ne va pas.

[Nul64]

Pourquoi donc ?

[Robot]

Peux-tu expliquer ce que tu as écrit pour 3) ?

[Nul64]

limite de F(x) quand x tend vers + l'infini =0 = c/x + e/x d'où c=-e=4/25

[Ben314]

Salut,
Bon, ben visiblement, il faut revenir au "basique de chez basique" :

c'est un truc qui dépend de l'entier naturel , de la fonction , mais pas de .

, si ça existe, c'est un truc qui dépend du réel , du réel , de la fonction , mais pas de .

, si ça existe, c'est un truc qui dépend de la suite mais pas de .

, si ça existe, c'est un truc qui dépend du réel , du réel , de la fonction , de la fonction , mais pas de .

etc, etc, etc...

[Robot]

@Nul64 :
1°) Comme l'a fait remarquer Ben, ce que tu écris n'a pas de sens.
2°) Quand x tend vers l'infini, F(x) tend vers 0, et chacun des éléments simples tend vers 0. Tu récupères donc la magnifique équation 0=0, qui ne va pas t'avancer beaucoup.
3°) Pour xF(x), revois tes limites !

[Nul64]

En regardant de plus près je vois en effet que ce que j'ai fait en 3) est totalement faux, tous les éléments simples tendent vers 0 quand x tend vers + l'infini.
En revanche la limite de F(x)*x quand x tend vers + l'infini me donne bien une équation a+c+e=0.
A ce stade il me reste donc encore trois inconnues a,c,d comment puis-je faire ?

[Nul64]

Je viens de refaire la limite de F(x)x quand x tend vers + l'infini et je ne vois pas l'erreur.

[Robot]

Envisage alors l'achat de lunettes.

[Nul64]

Vilain Robot, vilain ! J'ai déjà des lunettes ! =/
Merci j'avais pas vu.

[Ben314]

En revanche la limite de F(x)*x quand x tend vers + l'infini me donne bien une équation a+c+e=0.

Tu peut un peu détailler d'où vient ton "+e" ?

Sinon, un truc à savoir absolument, c'est que pour trouver la décomposition en éléments simples, il y a une méthode infaillible, c'est de réduire au même dénominateur puis d'utiliser le fait que deux polynômes sont égaux (pour tout x de R) si et seulement si ils ont les même coefficients.
Après, un fois qu'on sait que cette méthode infaillible existe, c'est bien de savoir que systématiquement cette méthode est la moins bonne de toutes (c'est à dire la plus longue qui soit) donc à éviter si possible.

Mais si, comme dans le cas présent, tu n'as aucune idée de comment trouver les autres coeffs., il vaut mieux utiliser cette "mauvaise méthode" que de rester comme un c... à ne rien faire.
Donc comme "punition", j'aurais tendance à t'inciter à l'utiliser puis, une fois que tu auras le résultat, comme "récompense", on t'expliquera comment il fallait faire pour ne pas l'utiliser...

EDIT : Si tu sait que la "mauvaise méthode" existe et que tu sait que ça te permettrait (après moult calculs) de trouver les coeffs., on peut passer directement à "comment ne pas l'utiliser".

[Nul64]

Connaissez vous un logiciel qui donne la décomposition en éléments simples pour que je puisse vérifier mes résultats ? Je prends une valeur particulière et je ne retombe pas sur la même chose. Pourtant j'ai tenu compte de vos remarques et pour trouver a et d j'ai résolu un système à deux équations dont j'ai vérifié les solutions sur un solveur d'équations en ligne. Par ailleurs si vous en avez un et que vous pouvez le faire ça m'aiderait beaucoup.
Voilà ce que je trouve a=-33/250 d=-19/250 c=33/250 b=4/25 e=-4/25 f=-3/25.
Merci beaucoup de votre aide.

[Ben314]

https://www.wolframalpha.com/input/?i=x^2+%2F+%28+%28x-2%29^2*%28x^2%2B1%29^2+%29

(voir "Partial fraction expansion" en bas)

Sauf qu'avec la nouvelle version du forum, on ne peut plus mettre de liens sur wolfram et qu'il semblerais bien que ce soit "définitivement foutu"...
Donc il faut recopier le lien complet (ctrl C) et le mettre dans la barre d'adresse (ctrl V)
(super pratique, non ?)

EDIT : Wolfram, c'est rapide et pratique mais c'est payant dés que tu veut un peu de précision (par exemple le détail des calculs qui ont conduit à cette décomposition).
Tu as de multiples logiciels libres (et gratuits) qui font (à peu prés) la même chose, par exemple sagemath (pour faire plaisir à Robot...) ou... d'autres...

[zygomatique]

salut

une autre méthode un peu moins bourrin que la réduction au même dénominateur qui marche toujours mais intéressante lorsqu'on a trouvé qq coefficients car il y a alors moins de calcul ::

ce qui est vrai "pour tout x" est vrai "pour certains x" :::

tu as pris les valeurs particulières 0 et i pour déterminer certains coefficients .... on peut aussi prendre -1 et 1 (vu la parité de certains termes) et d'autres valeurs pour résoudre un système d'équations ....

[Nul64]

Merci bien je vais en finir avec cet exemple et m'entraîner avec d'autre.
Milles fois merci.