Fraction rationnelle 1/(x^4+1) à intégrer

par **aco** » 20 Jan 2009, 17:44

Bonjour,

J'ai la fraction rationnelle 1/(x^4+1) à intégrer...
La méthode de la décomposition en éléments simples dans le corps des complexes est trop longue pour ce problème, est-ce qu'il y a une meilleure solution ?

aco

par **XENSECP** » 20 Jan 2009, 17:49

Longue ? Bah un peu peut être mais bon c'est ça les maths ;)

par **Nightmare** » 20 Jan 2009, 17:51

Salut :happy3:

As-tu fait de l'analyse complexe?

par **aco** » 20 Jan 2009, 17:55

Bah en fait je suis censé savoir réussir un exo au pif parmi 80 au tableau à l'oral en moins de 10 minutes, ce problème est l'un de ceux-là donc les méthodes moins laborieuses sont les bienvenues...

par **Nightmare** » 20 Jan 2009, 18:08

Cela ne répond pas à ma question :lol3:

par **aco** » 20 Jan 2009, 18:29

Euh je ne crois pas enfin on a jamais appelé ça comme ça...

par **Nightmare** » 20 Jan 2009, 18:32

Bon alors je ne vois pas d'autres preuve que la DES. Peut être un changement de variable circulaire mais la preuve serait de même longueur.

par **Joker62** » 20 Jan 2009, 19:06

Nightmare est devenu complétement accro à l'analyse complexe lol :p
Dis toi que cette année, j'ai vu arrivé dans ma fac, Etienne Mathéron qui est titulaire maintenant sur Lens !
C'est pas rien quoi ! Son livre est un des meilleurs bouquin de préparation pour les agrégatifs :)
Oui je me la pète je sais :D

par **Nightmare** » 20 Jan 2009, 19:10

Comment ne pas devenir accro à quelque chose qui nous simplifie la vie ? :lol3:

Etienne mathéron? Je ne savais pas que c'était un enseignant. J'avais vu son livre à ma librairie mais j'ai craqué pour le Rudin (une référence aussi), ce sera pour la prochaine fois !

:happy3:

par **XENSECP** » 20 Jan 2009, 19:15

aco a écrit:Bonjour,

J'ai la fraction rationnelle 1/(x^4+1) à intégrer...
La méthode de la décomposition en éléments simples dans le corps des complexes est trop longue pour ce problème, est-ce qu'il y a une meilleure solution ?

aco

En fait ça dépends sur quoi tu l'intègres... parce que si x<1 alors tu peux être l'écrire sous forme d'une série et potentiellement intervertir série/intégrale... mais sinon je vois pas ^^

par **Joker62** » 20 Jan 2009, 19:22

En fait il part d'un chemin totalement différent de la théorie classique pour retrouver les résultats de l'analyse complexe.
Il passe par les formes différentielles.
Pas facile à lire quand même.

par **fibonacci** » 20 Jan 2009, 19:31

bonsoir;

par **busard_des_roseaux** » 21 Jan 2009, 08:43

fibonacci a écrit:bonsoir;

avec cette factorisation

avec

f(0)=1=b+d
en changeant x en -x, par unicité de la décomposition:

et

Une fois déterminés a,b,c,d, chaque terme doit se primitiver en ln et arctan.

ptêt qu'à la fin, on peut utiliser l'identité

et tous calculs faits, içi tu les vérifieras

par **Joker62** » 21 Jan 2009, 11:25

Ou encore [url="http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=DNADE3A214.3&lang=fr&cmd=reply&module=tool%2Fanalysis%2Ffunction.fr&fn=1%2F%281%2Bx%5E4%29&substitute=&center=0&dev_order=5&show=intformal&ileft=&iright=&left=&right=&lower=&upper=&pleft=&pright=&num_precision=12&format=t"]ici[/url]

par **busard_des_roseaux** » 21 Jan 2009, 13:16

Joker62 a écrit:Ou encore [url="http://wims.unice.fr/wims/wims.cgi?session=DNADE3A214.3&lang=fr&cmd=reply&module=tool%2Fanalysis%2Ffunction.fr&fn=1%2F%281%2Bx%5E4%29&substitute=&center=0&dev_order=5&show=intformal&ileft=&iright=&left=&right=&lower=&upper=&pleft=&pright=&num_precision=12&format=t"]ici[/url]

et l'expression indiquée par Joker62 (coucou :we:) se simplifie
grâce au formule d' arctan(u)-arctan(v), ln(a)-ln(b) et quantitées conjuguées

Fraction rationnelle 1/(x^4+1) à intégrer

Fraction rationnelle 1/(x^4+1) à intégrer

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