Fourier

[MacManus]

Bonsoâr :salut:

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On considère :
- Un polynôme trigonométrique définit par :
- La somme partielle de la série de Fourier de f définie par : , où les sont les coefficients de Fourier de f (ie : ).

Je souhaite montrer que pour toute fonction de l'espace de Hilbert , on a l'inégalité suivante : et que l'égalité est atteinte uniquement si

Cette somme partielle est la projection orthogonale de f sur l'espace des polynômes trigonométriques de degré K. Cette projection réalise le minimum de la distance
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pif paf pouf :




(or : ), d'où :


En procédant de la même façon pour calculer , j'obtiens :




On constate donc que si et seulement si , ie : ssi

Mais je ne parviens pas à montrer rigoureusement l'inégalité ...

Quelqu'un peut-il m'aider ? merci beaucoup

[yos]

Cette somme partielle est la projection orthogonale de f sur l'espace des polynômes trigonométriques de degré K. Cette projection réalise le minimum de la distance

Si tu sais ça, c'est fini. Et ça vient de Pythagore (triangle rectangle en )

Il manque pas une barre sur le dernier f?

En procédant de la même façon pour calculer , j'obtiens :




On constate donc que si et seulement si , ie : ssi

Trouver les cas d'égalité à partir de là me semble illusoire. Je vois pas ce que tu fais.

[MacManus]

Merci Yos pour ta réponse.

On peut écrire que et puisque est orthogonal à , on a que . J'ai donc bien l'inégalité souhaitée, et l'égalité a lieu ssi