Formules d'une matrice à la puissance n (Cayley-Hamilton)

[Calo]

Bonjour, une petite question parce que je crois m'être embrouillé dans les signes pendant la prise de notes :

Quelle est la formule de A^n si la racine a du polynôme caractéristique est double ?
(Je crois que c'est A^n = P(A) = P'(a).A + (P(a) - a.P(a)).Id mais je n'en suis pas très sûr

PS : A est une matrice de type (2,2)

[skilveg]

Si j'écris , et que je fais la division euclidienne de par , ça me donne: . En évaluant en : . En évaluant les dérivées en : . Donc: , et finalement .

Est-ce que ça répond à ta question?

[Calo]

On n'a pas traité cela comme ça en cours.
En fait, j'utilise le polynôme P(X) = X^n et le polynôme caractéristique de A, de là si les racines du polynôme caractéristique de A sont les mêmes alors on a une formule (celle qui ressemble à celle évoquée plus tôt)
C'est les signes qui apparaissent dans cette formule dont je ne suis pas sur plus que la formule elle-même

[skilveg]

Sinon, on a aussi par la formule de Taylor où est un polynôme, donc . Mais ça donne encore .