Formule de Vandermonde

[pluie2]

Bonjour, j'aimerais avoir une aide sur cet exercice :

Soit n et m deux entiers naturels et p un entier naturel tel que 0<=p<=n+m. On pose P=(X+1)^n et Q=(X+1)^m. Calculer de deux manières différentes le coefficient de X^p du polynome PQ et retrouver la formule de vandermonde tel que pour tout (nnm) de N² et pour tout p de [[0,n+m]], p parmi n+m = somme de k=0 à p des k parmi n * p-k parmi m.


J'ai fait : P=(X+1)^n = somme de k=0 à n des 1^(n-k)*X^k
Q=(X+1)^m=somme de k=0 à m des 1^(m-k)*X^k

mais pour le produit faut il faire un changement de variable, regrouper les sommes entre elles ?

je ne sais pas comment aborder ce genre de calculs
merci

[zygomatique]

Bonjour, j'aimerais avoir une aide sur cet exercice :

Soit n et m deux entiers naturels et p un entier naturel tel que 0<=p<=n+m. On pose P=(X+1)^n et Q=(X+1)^m. Calculer de deux manières différentes le coefficient de X^p du polynome PQ et retrouver la formule de vandermonde tel que pour tout (nnm) de N² et pour tout p de [[0,n+m]], p parmi n+m = somme de k=0 à p des k parmi n * p-k parmi m.


J'ai fait : P=(X+1)^n = somme de k=0 à n des 1^(n-k)*X^k
Q=(X+1)^m=somme de k=0 à m des 1^(m-k)*X^k

mais pour le produit faut il faire un changement de variable, regrouper les sommes entre elles ?

je ne sais pas comment aborder ce genre de calculs
merci

salut

et le coefficient de est donné par le coefficient binomial

sinon donc il est aisé d'avoir le coefficient de lorsqu'on développe P et Q avant de faire leur produit ....

[pluie2]

le coefficient est x^(p-k) du coup ?

[zygomatique]

le coefficient est x^(p-k) du coup ?

:hein: :doh: :hein: :doh: :hein: :doh:

[pluie2]

désolé :( je ne comprends pas ce que je dous répondre pouvez vous m'expliquer? les polynomes et moi....

[zygomatique]

désolé je ne comprends pas ce que je dous répondre pouvez vous m'expliquer? les polynomes et moi....

connais-tu le binome de Newton ?

[pluie2]

oui : (a+b)^n = somme de k=0 à n de a^k*b^(n-k)

[zygomatique]

oui : (a+b)^n = somme de k=0 à n de a^k*b^(n-k)

alors applique le à P et à Q puis fais/imagine le produit et regarde quel est le coefficient de x^p

[pluie2]

donc comme PQ=(X+1)^(m+n) alors ça vaut somme de k=0 à m+n des k parmi n+m de X^k*1^(n+m-k) ou on peut aussi inverser les coeffs si on veut.
le coefficient de X^p est celui de X^k soit 1^(n+m-k)

mais comment aboutir à la formule de vandermonde à partir de ces résultats ? Faut il 'scier' le 1 puissance pour faire apparaitre 2 sommes ?