Formule de taylor

[bourbaki]

bonjour et bon week end à tous :zen:
comme j'ai toujours du mal à manipluer les sigmas je met à votre disposition cet execrice que j''ai du mal à aborder:
soit f une fonction définie sur I=[0,1] de classe C(n+1) pour tout k de I on pose Mk(f)=sup(abs(f^(k)(x)) oû f^(k) est la derivée k-ieme de f.
soit P un polynome de degré n.etant données deux réels x et h (h>0) tels que l'intervalle [x,x+h] soit contenu dans I, soit F la fonction définie sur I par la relation.
pour t de I .F(t)=sigma(k=0..n)[ ((-1)^k)*(h^k)*(P^(n-k)(t))*(f^(k)(x+h*t).
ou P^(n-k) designe la derivié n-k ieme de P.
1) Expliciter F(1) et F(0). montrer que la fonction F est de classe C1 sur I. exprimer F'(t) en fonction de n,h,x,t,P et f.

j'ai une autre question mais je vous laisse d'abord le soin de m'expliquer cette premeire question.

merci :happy2:

[El_Gato]

Salut,

est de classe sur car P, étant un polynôme, est de classe , f est de classe , donc est de classe et est de classe . Par composition et opération algébrique, il en résulte immédiatement que est de classe . De plus:

.

[bourbaki]

muchas gracias el gato.
ça veut dire quoi expliciter quelquechose??? par exemple comment faire pour expliciter F(1) et F(0) ??

la deuxiem question du problme est:
en exprimant de deux maniere différente la différence F(1)-F(0), démontrer la relation:
f(x+h)-f(x)=sigma(k=1..n)((-1)^(k-1))*[(h^k)/(P^(n)(0)]*[P^(n-k)(1)*
f^(k)(x+h)-P^(n-k)(0)*f^(k)(x)]+[(-1)^n*h^(n+1)/P^(n)(0)]*Rn
tel que Rn=integral(0..1) P(t)*f^(n+1)(x+h*t) dt.

montrer que cette relation permet de retrouver une relation bien connue en choisissant comme polynome P: pour tout t de R P(t)=(t-1)^n. :marteau:

franchement je ne sais pas par oû commencer pour démontrer tout ça!!! :mur:

merci de votre aide

[bourbaki]

alors aucune suggestions ?? franchement je ne sais pas comment expliciter
F(1) et F(0) :cry: . pour une premiere tentative, j'ai remplacé t par 1 et esuite par 0 . est ce que c'est tout, qu'est ce que je vais faire apres?? :hein:
:help:
merci

[bourbaki]

alors aucune suggestuions??? :doh:
si vous n'avez pas compris ma question faites moi signe! d'accord :triste:
merci

[El_Gato]

Pour F(1) et F(0), je ne vois pas d'autre chose à faire que de remplacer t par 0 et 1 dans la formule donnant F.

Pour la seconde égalité, je n'ai pas fait les calculs mais il faut sans doute utiliser:


et égaler avec l'autre formule donnant F(1)- F(0). Faire sortir le cas k = 0 dans la somme pour isoler f(x+h) - f(x).