Formule multinôme pour derivées

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Zep
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Formule multinôme pour derivées

par Zep » 29 Jan 2022, 10:02

Bonjour,

Je cherche une formule explicite donnant la dérivée k-ième de la j-ième puissance
d'une fonction f(x) (infiniment différentiable) sous la forme :
d^k [ f(x)^j ] / dx^k = Somme sur ??? de A_? multiplier par le produit des f(x)^(m_i)
où 0 <= m_1 < m_2 < m_3 < ... < m_p avec m_1+m_2+...+m_p=k.
Que valent ???, A_? et p ?
Toute suggestion et/ou référence sera la bien venue.

Merci,
Zep



azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 29 Jan 2022, 10:58

Bonjour

En fait ce que vous voulez c'est une formulation détaillée de

la dérivée k -ième de la fonction dont on suppose ici qu'elle est au moins k -ième fois dérivable

c'est ça ou j'ai rien compris?

Zep
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Re: Formule multinôme pour derivées

par Zep » 29 Jan 2022, 11:25

Vous avez bien compris, mais je cherche plus, à savoir les dérivées doivent être ordonnées par ordre croissant.
J'ai trouvé dans la littérature une formule, à partir de formule multinomiale, mais sans ordre des dérivées.

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 29 Jan 2022, 12:01

bah j'ai pas fait grand chose

il faut trouver une formulation générale mais là j'en suis là (mais on peut la trouver en continuant)








Zep
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Re: Formule multinôme pour derivées

par Zep » 29 Jan 2022, 12:04

Ça j'y étais arrivé tout seul ;-)
Ce que je cherche c'est la formule générale.
Merci de la réponse.

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 29 Jan 2022, 12:16

Bonjour

vous êtes allé jusqu'à où?

à mon avis je pense qu'on va voir se dessiner une formulation générale facile à voir aux alentour de 10

mais là en ayant commencé il y a une demie heure j'en suis qu'à 3

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 10 Fév 2022, 23:36

azf a écrit:à mon avis je pense qu'on va voir se dessiner une formulation générale facile à voir aux alentour de 10

eh bien j'ai dit une connerie
C'est ni la première que j'ai dit, ni la dernière que je dirai évidemment
c'est pas une bonne méthode car ça se complique grave
J'ai donc essayé une autre méthode que je ne détaille pas car c'est un vrai merdier
Bon après le calcul est chiant mais on peut écrire un algorithme pas compliqué
Vous avez demandé une formulation générale et ça en est une




Modifié en dernier par azf le 11 Fév 2022, 05:39, modifié 2 fois.

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 00:55

À partir de là on doit pouvoir arriver à une autre formulation générale plus adéquate car utiliser ça pour un développement en série de Taylor c'est pas top

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 01:45

Il y avait une coquille dans la formulation générale (j'ai édité pour qu'elle soit conforme)
En voulant la développer j'ai vu que ça clochait
De toute façon pour ce qu'il a demandé il faut la développer

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 02:31

faut que je recommence tout .... je crois que je me suis trompé dans la formulation générale que j'ai écrit plus haut
bon je vais le refaire ...je me suis emmêlé les pinceaux avec le n de l'exposant et le k de la dérivée successive

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 05:45

bon je l'ai refait (je viens de corriger la formulation générale)
À présent il reste à le développer mais bon c'est plus facile de développer ça à partir du moment où on a la formulation générale du "machin"

GaBuZoMeu
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Re: Formule multinôme pour derivées

par GaBuZoMeu » 11 Fév 2022, 12:30

Bonjour,

Tu veux une expression du genre indexée par les tels que et ?

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 14:32

Bonjour GaBuZoMeu

Je ne pense pas qu'il te réponde car il est parti (ce fil date d'il y a dix jours) mais ça doit être ce qu'il veut
Je vais essayer de développer la formulation générale donnée plus haut car en tout cas dans cette forme-là c'est clair qu'il n'en veut pas

azf

Re: Formule multinôme pour derivées

par azf » 11 Fév 2022, 23:17

Alors à partir de la généralisation précédente






en la développant j'obtiens quelque chose de plus pratique (à voir si c'est exactement ce que veut mais il est parti)





On peut remarquer que par exemple cette écriture là se calcule plus facilement












 

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