[MPSI] Formule d'Abel

[Majaspique]

Bonjour, je rencontre quelques problèmes face à cet exercice :
Merci d'avance pour votre aide,

Énoncé :
Soient et deux suites de nombres réels. Pour tout entier naturel n, on pose :




1. La formule d'Abel
a. Vérifier que : ,
b. En déduire que, pour tout n au moins égal à 1 :
c. En déduire une expression simplifiée de
2. On suppose dans cette question que la suite est décroissante, à termes positifs et qu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n,
Établir que

Recherches :
1.



2. Je bloque ici :
En partant de , on a :





En partant de :



Je n'arrive pas à transformer le en

[LB2]

Bonjour,

en fait (convention de somme vide = 0)
et pour te débloquer c'est juste un changement d'indice comme tu as l'habitude d'en faire.
Pour l'idée : la transformation d'Abel est aux séries ce que l'intégration par parties est aux intégrales.
Intégrer un phénomène oscillant permet souvent de résoudre des difficultés

[Ben314]

Salut,

. . .

Quand tu en est là, la "mini astuce" (archi. classique), c'est de faire ça (je te le fait dans un cas concret, à toi de l'écrire dans le cas général) :


et, à mon avis, si tu t'autorise à écrire ça , ça me semblerais plus que pas con de préciser qui est le qui apparaît dans cette somme vu que normalement, les ne sont définis que pour .

[Majaspique]

Merci, ça me donne ça ducoup :



Or est définie pour tout entier naturel n non nul donc d'où :

La rédaction est-elle suffisamment rigoureuse cependant ?

[Ben314]

A mon avis, cette égalité, ça serait quand même on ne peut plus "sain" de la détailler vu que le lecteur "de base", il y a de forte chance qu'il ne comprenne pas d'où ça sort.
Pour la "détailler", tu peut évidement revenir à une écriture des sommes avec des points de suspension (et c'est pas du tout con de procéder comme ça), mais ça serait pas mal non plus que tu arrive à l'écrire (et à la comprendre) directement avec les symboles sigma en utilisant l'indication donnée par LB2 (changement d'indice).
(à mon avis, dans un cas pareil, beaucoup de matheux raisonnent en terme de "point de suspension" vu que l'égalité est évidente avec ce point de vue, mais par contre ils rédigent avec des symboles sigma vu que c'est plus court à écrire)

[Majaspique]

b. Je dois mal m'y prendre, car si j'effectue un changement d'indice voilà ce que ça donne :

[Ben314]

b. Je dois mal m'y prendre, car si j'effectue un changement d'indice voilà ce que ça donne :

Tes deux trucs rouges, il ne sont pas du tout égaux : le premier commence (pour ) par du alors que l'autre commence (pour ) par du (de même les derniers termes respectifs sont et )

Si tu fait un changement d'indice, faut pas le faire "au pif" et, surtout quand on est pas à l'aise, on a plus qu'intérêt à changer de symbole pour l'indice de sommation comme le préconisait LB2 avec son "faire le changement d'indice " (et pas ...)

Sauf que le changement , ça serait le bon si tu avait choisi de faire un changement d'indice sur l'autre somme pour "transformer" le en "", c'est à dire en de façon à ce que ce soit le même que dans la somme .
Si on veut procéder comme tu le fait en changeant la somme pour l'écrire en terme de "", c'est à dire de , ce qu'il faut "poser", c'est bien sûr c'est à dire . Ca donne et, lorsque décrit l'ensemble , l'indice , lui, il décrit l'ensemble .
Donc (et tu peut vérifier en écrivant les deux sommes avec des points de suspension que ce sont bien exactement les deux mêmes, en particulier avec le même premier terme et le même dernier terme)
Ensuite, tu écrit que, bien sûr, on a vu que la lettre utilisé comme indice de sommation n'a évidement pas la moindre importance.

Quand tu aura une très bonne habitude de ces truc là, alors tu pourra te permettre d'écrire directement que , mais au début, je te le déconseille fortement vu que tu va écrire n'importe quoi...

Edit : où alors, si tu as des stylo de couleurs, tu écrit que en "posant"

[Majaspique]

Merci,
Pourrait-on m'aiguiller sur la question 2 :
2. On suppose dans cette question que la suite est décroissante, à termes positifs et qu'il existe un réel M tel que pour tout entier naturel n,
Établir que

[Ben314]

Là, tu pousse quand même le bouchon un peu loin :
Il te suffit d'écrire que puis d'utiliser les majoration classiques et usuelle pour tomber directement sur le résultat demandé. (attention simplement à ne pas oublier l'hypothèse essentielle disant que la suite est décroissante).