Forme générale de la décomposition d'un fraction rationnelle en éléments simples

[shtefi]

Bonjour,

J'ai un problème concernant le résultat de la décomposition en éléments simples de 1ere éspèces.

Soit 2 polynômes P et Q.
Si P/Q est une fraction irréductible, et si a est un pôle d'ordre m de cette fraction, alors on peut écrire la décomposition suivante :

P/Q = A1/(X-a)^m + A2/(X-a)^(m-1) + .... + Am/(X-a) + Ra(X-a)/Qa(X)

avec P/Q = P/(Qa(X-a)^m)

Si b,c, ...,l sont des pôles d'ordres respectifs p, q, ...., t ,
alors la forme générale de décomposition en éléments simples de 1ere éspces de P/Q s'écrit :

P/Q = [A1/(X-a)^m + .... + Am/(X-a)] + [B1/(X-b)^p + .... + Bp/(X-b)] + .... + [L1/(X-l)^t + .... + Lt/(X-l)]

C'est ce dernier résultat qui me pose problème. Au pôle l, le reste est-il nécessairement nul ? Ne devrait-on pas écrire

P/Q = [A1/(X-a)^m + .... + Am/(X-a)] + [B1/(X-b)^p + .... + Bp/(X-b)] + .... + [L1/(X-l)^t + .... + Lt/(X-l)] + Rl(X-l)/Ql(X) ?


Je vous remercie d'avance à l'aide que je m'apporterez !!

[redwolf]

Bonsoir.

Si n'a aucun facteur irréductible de degré 2 (je suppose que tes polynômes sont à coefficients réels) alors il n'y a pas de reste. Après la racine , on a épuisé :









et .

[yos]

Il manque quand même la partie polynomiale de ta fraction rationnelle.
P/Q=quotient de la div euc de P par Q plus ce que tu as écrit.
Je me trompe?

[abcd22]

Vous n'avez pas supposé en plus deg P < deg Q ?

[redwolf]

Bonsoir.

C'est vrai que j'ai supposé sans même m'en rendre compte.
Si ce n'est pas le cas, la partie polynomiale est ce que Shtefi note , avec un qui est égal à 1.