Fonctions usuelles

[checkmaths]

Bonjour, pourriez-vous m'aider svp



Je vois pas du tout comment faire...
Si vous pouviez en plus me dire qu'elle est ce théorème ce serait cool pcq je trouve rien sur le net à ce sujet

[Landstockman]

Par l'absurde :

Soit x dans [a,b] tel que f(x)>0.
Comme f(a)=0, on peut trouver y dans [a,x] tel que f'(y)>0. f' est C1, donc on peut trouver un intervalle ouvert I autour de y tel que f'>0 sur cet intervalle.
Mais remarquons que f''>0 également. Que va-t-il se passer pour f' ? Va-t-elle pouvoir être négative un jour, et f pourra-t-elle revenir à 0 ?
A toi de continuer la preuve

[pascal16]

une version moins générale :

soit g convexe sur [a;b] avec g(a)=g(b)=0
on a alors pour tout x dans [a;b], g(x)<=0
démo : g est en dessous de la corde

Piste de réflexion :

f admet sur [a;b] un maximum au moins en un point xo., f(xo)>0
donc f'(xo)=0 car f C2
avant f est croissante, après f est décroissante (attention à la rédaction, ce n'est pas forcément un point )
f" est plus plus grande que f
sur un voisinage de xo, f(xo)>0, donc f" y est positive aussi
f' peut-elle être croissante puis décroissante ?
(attention à la rédaction, ce n'est pas forcément un point )

[edit] : grilled, même réponse rédigée dans l'autre sens pour la contradiction

[checkmaths]

Merci pour vos réponses