Fonctions

[olivia83]

Bonjour
Je ne sais pas comment resoudre cette question, si vous pouviez m'aider...
Soit g une fonction à valeurs réelles de classe C² sur [0,1] et (alfa,beta) un couple d'elements de [0;1] tel que alfa
Soit G la fonction definie sur [0,1] par les relations
G(t)=g(t)/(t-alfa) et G(alfa)=g'(alfa)

prouver que G est continue puis qu'elle est de classe C1.

Tout aide , ou debut de reponse me serait trés utile...

Merci

[olivia83]

Ma continuité est démontrée...ainsi que la classe C1.

Aprés par contre il faut prouver que |G'(t)|< 1/2 sup |g(²)(t)|

J'ai commencé a dérivé G mais je n'arrive pas a cela

[ToToR_2000]

Lorsque tu calcules la dérivée de G, tu obtiens une expression en g'. As-tu essayé d'appliquer une majoration du type de Taylor-Lagrange ?

[olivia83]

non je n'ai pas essayé... mais je sais que je n'arrive pas trop a appliquer ce theorme je vais essayr quand meme...

[olivia83]

L'inegalité de T-L nous dis que :
il existe M , |g(n+1)(t)|
Alors la je prend n=1 c'est sa? mais aprés je fais quoi du x-a pour arriver a mon resultat....

[ToToR_2000]

Je pensais davantage à la formule de Taylor avec reste intégral.

J'ai calculé la dérivée de G et le nominateur peut être remplacé par des termes du développement de T-L de g.
Ensuite il suffit de majorer à l'intérieur de l'intégrale obtenue et d'effectuer un petit calcul pour conclure.

Si tu calcules proprement le développement de TL avec reste intégral de g à l'ordre 2 (sur les bornes adéquates), tu verras facilement ce dont je parle avec ma majoration.