Fonctions...

[bitonio]

Hello,
un petit détail m'échappe sur les prolongements par continuité...

Soit f:]a;b[ -> R une application absolument monotone. Démontrer que f admet un prolongement par continuité en a, et que le prolongement obtenu est de classe

Ma réponse:

f est et croissante car absolument monotone. D'après le théorème de la limite monotone, il existe une limite en a+. Donc il existe une prolongement par continuité, que l'on note , tel que ..

C'est correct ?
Un détail qui m'échappe. Le prolongement par continuité est une fonction non? Une fonction définie sur le même intervalle (fermé si ouvert au départ)... Quelle tête à la fonction sur [a;b[ ? la même tete que f ?
Autre détail, comment montrer que notre fonction est

Merci d'avance

Ciaooo

[yos]

Quelle tête à la fonction sur [a;b[ ? la même tete que f ?

Ben... avec un point de plus. Ca change pas l'allure pour sûr.

Autre détail, comment montrer que notre fonction est

Par récurrence sur l'ordre de dérivation à mon avis.

[bitonio]

Par récurrence sur l'ordre de dérivation à mon avis.

Peux tu expliciter un peu plus ? je ne vois pas trop ou tu veux en venir

merci d'avance

ciao

[yos]

Montre que f est C1. Puis supposant que f est Cn, montre qu'elle est Cn+1.
Pour cette deuxième partie, "l'hérédité", il n'y a rien à faire si tu étoffes un peu la propriété à prouver en ajoutant "et ".

[yos]

En fait il y a un trou dans mon raisonnement : le théorème de la limite monotone que tu appliques donne l'existence d'une limite en a, mais ne dit pas qu'elle est finie. Il faut utiliser davantage les hypothèses (absolue monotonie). D'ailleurs ce qu'on fait à la borne a, on ne pourrait pas le faire à la borne b avec les mêmes hypothèses.
Je réfléchirai à comment boucher le trou.
Mais si quelqu'un a une idée...

[bitonio]

effectivement si quelqu'un a une idée je suis prenneur

ciao

[yos]

Il faut utiliser la convexité de f (conséquence directe de l'absolue monotonie).
On a f(x)>mx+p (prendre une tangente à la courbe de f). Donc la limite en a ne peut pas être moins l'infini. Donc la limite est finie. On prolonge par continuité et on montre que ce prolongement est dérivable en a (grâce au théorème des accroissements finis). Ensuite on montre que f est C1 en a par la même méthode appliquée cette fois à f ' . Et ainsi de suite (c'est le principe de récurrence). Si problème, je pourrais revenir ce soir.
Bon courage.

[bitonio]

Oui c'est exactement ca. J'ai demandé à mon prof tout à l'heure, il m'a dit qu'il fallait faire par récurence sachant que f était C1

merci beaucoup :)

Ciaoo