Fonctions réelles (PCSI)

[StaNjie]

Bonjour à tous, je dois faire cet exercice mais sa forme me pose quelques problèmes. Merci de bien vouloir me dire si mes réponses sont valables

Enoncé: On cherche les fonctions de R dans R telles que: Quelques soient (x,y)€R², et
1)Soit f une solution du problème:
a) Déterminer f(0)
b)Déterminer les valeurs possibles de f(1) ; montrer que si f(1)=0 alors la fonction est nulle. En déduire f(1).
c)Montrer, pour tout n entier naturel, f(n)=n, puis pour tout z entier relatif, f(z)=z.
d)Montrer pour tout rationnel p/q, où p est un entier relatif et q un entier naturel non nul, f(p/q)=p/q
e)Montrer, pour tout x réel strictement posifit, f(x)>0, en déduire que f est strictement croissante.
f)Montrer, en raisonnant par l'absurde, que pour tout réel x, f(x)=x. ( On utilisera la densité de Q dans R et la croissance de f, en envisageant f(x)<x pour arriver à une contradiction)

2)Trouver l'unique solution non nulle du problème

Mes réponses pour l'instant:

1)a) f(0)=f(0+0)=f(0)+f(0)=f(0)f(0) Donc f(0)=0

b)f(1)=f(1x1)=f²(1) donc f(1)=1 (Je ne vois pas toutes les valeurs possibles de f(1) )

c)Je montre que f(n)=n par récurrence simple [f(n+1)=f(n)+f(1)=n+1]

C'est à partir de là que je bloque.

Merci d'avance!

[Ben314]

Salut,
Déjà, perso, on m'avais appris au collège que, pour résoudre un truc du style X=X² (par exemple f(1)=f(1)²), il fallait soustraire X des deux cotés puis factoriser : 0=X(X-1) et qu'ensuite on utilisait le fait qu'un produit est nul ssi un des facteur est nul donc qu'il y a deux solutions...

Ensuite, concernant les négatifs, peut être pourrait on utiliser le fait que, pour tout entier n, on a n+(-n)=0 donc f(n+(-n))=f(0)...

[StaNjie]

Merci de me remettre les idées en place, je ne sais pas où j'avais la tête :marteau:
Bref, c'est ok pour les questions a à d. Maintenant pour la question e, faut-il que je montre que quelque soit x € R, f(x)=x, d'où si x>0, f(x)>0 ? Si oui, comment?