Fonctions puissances

[jeje56]

Bonjour,

Je cherche comment montrer que la limite quand x tends vers 0 de x^a où a est réel, est 0...

Je me pose la question de savoir comment sont construites les fonctions puissances réelles ?
J'ai vu que pour un x fixé, a->x^a est définie par prolongement par continuité de r->x^r où r est un rationnel...

Merci !

[Ericovitchi]

ou bien remonter à la définition

[Ben314]

Salut,
Le plus simple pour définir x^a avec x réel strictement positif et a réel (ou complexe) quelconque, c'est de poser (par définition)
x^a=exp(a.ln(x))
Puis de vérifier que, dans les cas "déjà connus" où a est entier (voire rationnel) cette définition coïncide avec la définition usuelle des puissance.
Je pense que c'est de cette façon que sont définies les puissance "quelconques" dans le cursus scolaire français.

Effectivement, sinon, on peut définir x^a en considérant une suite de quotients qui tend vers a et en définissant x^(p/q) comme la racine q-ième de x^p. Ca marche évidement bien, mais ça demande pas mal de "travail" :
- Justification que tout x>0 admet une unique racine q-ième strictement positive.
- Justification du fait que x^(p/q) ne dépend pas de la représentation choisie du quotient p/q (par exemple 4/6=6/9 : est il clair que la racine 6-ème de x^4 est égale à la racine 9-em de x^6)
- Démonstration pour les exposants quotients des égalitées usuelles pour les puissances : (xy)^a=x^a.y^a ; x^(a+b)=x^a.x^b et (x^a)^b=x^(a.b)
- Démonstration du fait que tout réel a est limite d'au moins une suite de quotients pn/qn.
- Preuve du fait que, si a est la limite de pn/qn alors la suite x^(pn/qn) admet bien une limite.
- Preuve du fait que cette limite ne dépend pas de la suite pn/qn choisie mais seulement du réel a.

Tout ça pour expliquer pourquoi c'est trés souvent la solution "x^a=exp(a.ln(x)) par définition" qui est choisie.

Edit : (Encore) Grillé, mais c'est pas grâve vu que j'ai pas répondu à la même question et donc que les réponses sont complémentaires...

[xyz1975]

x tend necessairement vers 0+, sinon la limite n'a pas de sens.

Dans ce cas on écrit sous la forme puis

envisager les cas suivant les valeurs de a.

[jeje56]

Merci à tous, c'est plus clair !