Fonctions multiformes

[sky-mars]

Hello à tous
Je vous propose un exercice qui reste un mystère pour moi, vu la médiocrité du cours que j'ai eu...
Soit la fonction

1) Identifier le point de branchement de cette fonction et définir une coupure permettant de rendre cette fonction uniforme (la coupure doit exclure z=-10)
2) Définir la détermination de la fonction qui vaut 2i au point z=17
3) Donner l'expression de cette détermination aux points se trouvant sur le bord supérieur de la coupure.


1) Concernant le point de branchement, ne serait ce pas z=1 ?
J'ai cru comprendre qu'il existé une infinité de coupure, ici on m'impose une condition i.e la coupure doit exclure z=-10
donc peux-t-on prendre comme coupure ? car ma fonction sera définie sur le complémentaire ?

2)ici c'est le flou, et c'est inutile de me refaire des liens sur un post que j'avais fait le 06/06, j'ai beau relire relire relire je comprends pas
3) n'en parlons même pas ....


enfin bon j'espère avoir un peu d'aide pour que je puisse enfin comprendre.

Cordialement
Sky-M

[sky-mars]

aucune inspiration ? :cry:

[Arkhnor]

Salut. :happy3:

1) Le point de branchement est bien en 1. On cherche donc un domaine simplement connexe ne contenant pas 1 (point de branchement), et pas -10 (choix de l'énoncé).
Une manière de procéder est donc de retirer au plan complexe une demi-droite issue de 1, et passant par -10, c'est-à-dire comme tu l'as proposé.
Je noterai le domaine obtenu.

2) Choisir une détermination, c'est choisir un domaine simplement connexe, et la valeur en un point particulier. (la valeur ne peut bien sur pas être quelconque, si l'on cherche par exemple à définir la racine carrée, et que l'on fixe la valeur en -1, on ne pourra choisir que i ou -i, pour notre exemple, on a bien , donc il est tout à fait possible de poser )
Une fois ce choix fait, toutes les autres valeurs sont entièrement déterminées.

On définit une détermination du logarithme par la formule , pour , avec la détermination de l'argument à valeur dans , et un entier relatif quelconque. (c'est sur cet entier que l'on va jouer pour faire prendre la valeur voulue à la fonction)
On a donc pour

Il faut donc trouver un entier (il y en aura une infinité, mais tous donneront la même fonction, à cause de la périodicité de l'exponentielle) tel que , et ensuite simplifier un peu l'expression de f. (ce que je note ln ,pour le différencier du log que l'on a défini ici, c'est le logarithme népérien pour les nombres positifs, que tu connais bien)

3) On sait que lorsque l'on fait une coupure, si l'on fait tendre la variable z vers un point de la coupure, la limite sera en général différente selon que l'on fasse tendre z en restant d'un côté ou de l'autre de la coupure.
L'idée est donc, à partir de l'expression de f obtenue à la question de 2), de calculer cette limite.

:happy3:

[sky-mars]

Hello ^^
Merci pour l'explication

donc pour la question 2)
on a :


je dois trouver le bon n telle que f(17)=2i donc je peux prendre n=0 ou n=4 ou ?

Pour la 3)
f reste inchangé ici ?

[Arkhnor]

Qu'obtient tu pour f(17) si tu prend n=0 ?

Pour la 3), f reste inchangée, puisque dans la question, on nous demande d'exprimer cette détermination, ie celle des questions précédentes.

[Arkhnor]

Sinon, pourquoi as-tu un facteur , ça ne devrait pas être ?

[sky-mars]

par ce que je suis un boulet, j'avais zapper le 2 !
:zen: :zen: :zen:



donc

si n=0 f(z=17)= exp (0.25 ln(16)) = 2i nan ?
si n=2k+1 on trouve la meme chose aussi

[Arkhnor]

si n=0 f(z=17)= exp (0.25 ln(16)) = 2i nan ?

Non, le ln est le logarithme népérien usuel, et l'exponentielle d'un nombre réel est réel, donc d'où vient le i ?

si n=2k+1 on trouve la meme chose aussi

Plutôt n = 4k+1, non ?

[sky-mars]

ah oui en effet n=4k+1 puisqu'on veut i !!
et donc la détermination on la décrit de manière générale on posant n=4k+1 avec ou bien on écrit par exemple n=1 ?

Quand on nous demande de donner l'expression de la détermination au bord de la coupure c'est faire :
? dans ce cas sa fait 0 ? ou il yva encore une autre feinte ? (je me méfie des complexes mdr)

[Arkhnor]

Bah, en fait, pour tout k, ça va donner la même fonction, donc on a

Cette fonction n'est définie que sur le domaine D, par conséquent elle n'est pas définie pour , mais on peut néanmoins s'intéresser à la limite de la fonction en ces points.

En fait, la limite n'existe pas, parce que la fonction se comporte différemment selon la manière dont on fait tendre la variable.
Si on s'approche par le haut de la coupure, on obtient une limite, et si on approche par le bas, on obtient une autre limite, un peu comme les limites à gauche et à droite des fonctions réelles.

(En fait, on peut visualiser ça un peu mieux, le domaine de définition de la fonction est en réalité une surface, on a coupé le plan complexe, et on a surélevé une partie, un peu comme un escalier en colimaçon, lorsqu'on fait un tour on change d'étage, c'est ce que traduit le fait que les limites soient différentes en haut et en bas de la coupure, c'est parce qu'en fait ces deux endroits sont "éloignés", même si sur le plan complexe, ça ne se voit pas.
C'est peut-être pas tout à fait clair, dans ce cas oublie ce commentaire, ce n'est pas très important)

Dans la question, on te demande donc de calculer la limite , avec
La condition traduit le fait qu'on approche le point par "en haut" de la coupure.
Dans la pratique, cette condition va jouer sur le comportement de l'argument (ne pas oublier qu'il est défini à valeur dans , et donc que selon si on approche par en haut ou par en bas, il va tendre vers ou )

:happy3:

[sky-mars]

mais ici si je prend

avec Im(z)>0 , je n'obtiendrai pas la même limite

[Arkhnor]

est fixé, et tu cherches la limite en , c'est donc normal que la limite dépende de
Après, c'est que l'on fait tendre vers , avec .

C'est comme si je te demandais de calculer avec une fonction d'une variable réelle comme tu as étudié il y a bien longtemps.

[sky-mars]

en fait on aura simplement
quand on tend avec les Im(z)>0

[Arkhnor]

C'est ça !

Et si on avait fait tendre avec , on aurait eu un facteur au lieu de

:happy3:

[sky-mars]

huhuhuh tout est clair là ^^
:zen: Trop fort Arkhnor :zen: (et sa rime en plus), merci de ta patience !
Je poste bientôt un sujet sur l'utilisation du Lemme de Jordan sur un contour bien spécifique

[sky-mars]

Salut
une autre petite question si on avait eu :

comment on choisit s'il te plaît la coupure dans ce cas la ? car avant on avait toujours un réel à la place de i ?

[Arkhnor]

Et bien, on a un point de branchement en , donc la coupure doit partir de , après la direction de la demi-droite dépend de ce que tu veux faire, de quel domaine tu as besoin, etc ...