Bonsoir ,
S'il vous plait j'y arrive pas:
f et g 2applications différentiables dans U et V respectivement et 2fois différentiable en a et f(a) , f(U) est contenu dans V. On veut montrer que
g rond f est 2foi différentiable en a et que lon a :
D²(g rond f)(a)(h)(k)=D²g(f(a)) ( Df(a)(h) , Df(a)(k) ) + Dg(f(a)) (D²f(a)(h,k)).
Jai fixé k et calculé Dg(f(a+h))(k) - Dg(f(a))(k) en utilisant les expressions de f(a+h) et Dg(f(a+h)) en fonction de f(a) ,Dg(f(a)) et leurs différentielles, jai ensuite tiré de ce calcul ce qui serait la dérivée cherchée, mais jai D²g(f(a)) (h , Df(a+h)(k) ) à la place de
D²g(f(a)) ( Df(a)(h) , Df(a)(k) ). Jai beau essayer mais je ne sais pas comment arriver au résultat.
Fonctions différentiables
7 messages
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un exemple pour commencer
par mathelot » 03 Sep 2008, 22:24
Salut,
soit
 \rightarrow <br />\begin{\array} <br />\left( <br />\cos(x+y) \qquad -\sin(x+y) \\<br />\sin(x+y) \qquad \cos(x+y) \\<br />\right))
en gros, il faut regarder de "petites différences" dans
quand (x,y) varie peu.
 \in L(\mathbb{R^2} ,\mathbb{R^4}))
on différentie comme d'hab:
 (dx+dy) \qquad -\cos(x+y)(dx+dy) \\<br />\cos(x+y)(dx+dy) \qquad - \sin(x+y)(dx+dy) \\<br />\right))
soit:
 \rightarrow \begin{\array} <br />\left( <br />- \sin(x+y) (h+k) \qquad -\cos(x+y)(h+k) \\<br />\cos(x+y)(h+k) \qquad - \sin(x+y)(h+k) \\<br />\right))
l'addition dans donne:
 \rightarrow (h+k)A(x+y))
en posant=\begin{\array} <br />\left( <br />- \sin(t) \qquad -\cos(t) \\<br />\cos(t) \qquad - \sin(t) \\<br />\right))
La différentielle seconde conserve la linéarité de l'application df.
On va juste introduire en différentiant, de petites différences
portant sur le paramètrage de A par x+y, en gardant la structure
de "produit à gauche" par (h+k):
 \rightarrow \left( (h,k) \rightarrow (h+k)(u+v)A'(x+y) \right))
soit
 \rightarrow \left( (h,k) \longrightarrow (h+k)(u+v)\begin{\array} <br />\left( <br />- \cos(x+y) \qquad \sin(x+y) \\<br />- \sin(x+y) \qquad - \cos(x+y) \\<br />\right)<br />\right))
on identifie
avec l'application bilinéaire sur chaque couple
(u,v) et (h,k):
,(h,k) \right) \longrightarrow (u+v)(h+k)B(x+y))
où
=\begin{\array} <br />\left( <br />- \cos(t) \qquad \sin(t) \\<br />- \sin(t) \qquad - \cos(t) \\<br />\right))
soit
en gros, il faut regarder de "petites différences" dans
on différentie comme d'hab:
soit:
l'addition dans
en posant
La différentielle seconde conserve la linéarité de l'application df.
On va juste introduire en différentiant, de petites différences
portant sur le paramètrage de A par x+y, en gardant la structure
de "produit à gauche" par (h+k):
soit
on identifie
(u,v) et (h,k):
où
Avec des Banachs
par mathelot » 03 Sep 2008, 22:43
Calculons la différentielle seconde de gof:
Soient E,F,G trois banach.
et 
deux ouverts
La différentielle calculée en
de gof est:
) o df(a))
il s'agit juste de la "dérivée" d'une composée de deux applications.içi
la différentielle)
est le produit de deux applications linéaires.
venons-en à la structure:
si u et v sont deux applications linéaires, le produit
est bilinéaire :
 =\lambda v o u)
car v est linéaire
on différentie donc dg(f(a)) o df(a) avec une formule de produit:
u'v+uv'.
d'où:
= d(dg(f(a))) o df(a) + dg(f(a)) o d(df(a)))
Pour d(dg(f(a))):
r=dg(f(a)) est la composée des deux applications:
=z \rightarrow dg(z))
d'où
) o df(a))
))
représente une application bilinéaire "paramétrée" par f(a).
De l'autre côté c simple:)=d^2(f(a)))
on identifie
à une application bilinéaire, il vient:
(a))
est l'application bilinéaire
 \longrightarrow d^2g(f(a))(df(a).h,df(a).k)+dg(f(a)) o d^2f(a)(h,k))
est une application bilinéaire évaluée en f(a).
Elle s'applique sur un couple de vecteurs.h,df(a).k))
de 
d^2f(a) est l'application bilinéaire d^2f "évaluée en a" ou "paramétrée par a".
elle s'évalue sur le couple de vecteurs (h,k) de
.
Elle est à valeurs dans F.
(h,k) \in F)
ce vecteur est ensuite traité par l'application linéaire))
ie, une application linéaire dg ,paramétrée par f(a).
Soient E,F,G trois banach.
La différentielle calculée en
il s'agit juste de la "dérivée" d'une composée de deux applications.içi
la différentielle
venons-en à la structure:
si u et v sont deux applications linéaires, le produit
est bilinéaire :
on différentie donc dg(f(a)) o df(a) avec une formule de produit:
u'v+uv'.
d'où:
Pour d(dg(f(a))):
r=dg(f(a)) est la composée des deux applications:
d'où
De l'autre côté c simple:
on identifie
Elle s'applique sur un couple de vecteurs
d^2f(a) est l'application bilinéaire d^2f "évaluée en a" ou "paramétrée par a".
elle s'évalue sur le couple de vecteurs (h,k) de
Elle est à valeurs dans F.
ce vecteur est ensuite traité par l'application linéaire
ie, une application linéaire dg ,paramétrée par f(a).
conclusion
par mathelot » 03 Sep 2008, 22:59
les notations différentielles explicitent les fonctions, leurs structures:
différentielles=fonctions linéaires, différentielle seconde=fonctions bilinéaires,
etc.. et comment ces applications sont composées.
Ces applications sont "évaluées" ou "paramétrées" aux points
où sont composées les applications à différentier: a,f(a),g(f(a)).
Elles donnent lieu au calcul matriciel quand les banachs sont du type
différentielles=fonctions linéaires, différentielle seconde=fonctions bilinéaires,
etc.. et comment ces applications sont composées.
Ces applications sont "évaluées" ou "paramétrées" aux points
où sont composées les applications à différentier: a,f(a),g(f(a)).
Elles donnent lieu au calcul matriciel quand les banachs sont du type
par Bill BM » 04 Sep 2008, 18:57
Merci beaucoup pour tous ces détails. Je comprend parfaitement la démo
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