Fonctions continues équivalentes

[joanie58]

Bonjour,

Je dois montrer que si deux fonctions continues définies sur sont équivalentes (c'est-à-dire que , où u est une mesure complète) les deux mesures son égales

pour l'implication <= je crois que c'est assez évident, si f(x) =g(x) on a que donc donc f et g sont équivalente...

mais j'ai un peu de difficulté avec l'autre implication... pouvez-vous m'aider ?
Merci

[Ben314]

Salut,
Si f et g sont continues alors f-g aussi donc est un ouvert de [a,b] donc, s'il est non vide, il contient au moins un intervalle ouvert (non vide).
Si ta mesure est telle que la mesure des intervalles ouverts (non vide) soit non nulle, tu as ta réciproque.

Mais comme je ne comprend pas le sens du terme "complète" que tu utilise, je ne sais pas si ça marche :
Pour moi une mesure "complète", ça veut dire que toute partie contenue dans une partie de mesure nulle est elle aussi mesurable (et de mesure nulle). Sauf que avec cette définition là, ta réciproque est trivialement fausse (si par exemple ta mesure est la dirac en un point, tu va pas déduire grand chose...)

[joanie58]

Salut,
Si f et g sont continues alors f-g aussi donc est un ouvert de [a,b] donc, s'il est non vide, il contient au moins un intervalle ouvert (non vide).
Si ta mesure est telle que la mesure des intervalles ouverts (non vide) soit non nulle, tu as ta réciproque.

Mais comme je ne comprend pas le sens du terme "complète" que tu utilise, je ne sais pas si ça marche :
Pour moi une mesure "complète", ça veut dire que toute partie contenue dans une partie de mesure nulle est elle aussi mesurable (et de mesure nulle). Sauf que avec cette définition là, ta réciproque est trivialement fausse (si par exemple ta mesure est la dirac en un point, tu va pas déduire grand chose...)

Je ne comprend pas cet égalité et voici la définition que nous avons d'une mesure complète si
il en résulte que u(A')=0

[Ben314]

Je ne comprend pas cet égalité et voici la définition que nous avons d'une mesure complète si
il en résulte que u(A')=0

et avec la définition que tu donne de mesure "complète" (qui est bien la définition usuelle), le résultat est clairement faux.
Si on prend la mesure définie par pour toute partie de c'est clairement une mesure complète (elle est définie sur tout entier) et, si on prend deux fonction f et g on aura ssi f(0)=g(0) et on est donc trés loin d'en déduire que f=g...

Edit : en relisant ton post, tu dit "... que les deux mesures sont égales..."
C'est qui les deux mesures ? (j'ai fait comme si c'était "... les deux fonctions sont égales...")

[joanie58]

Seigneur! Je me suis complètement tromper en écrivant mon énoncer! Le voici:

Montrer que deux fonctions continues définies sur un intervalle sont équivalent si et seulement si elle sont égales.

se sont les fonction qui sont égale pas les mesure

[barbu23]

Bonsoir, :happy3:

Soient et deux fonctions continues et définies sur .
sur sur .
Il reste à montrer que : . ( Or, ceci est faux d'après le contre exemple de @Ben )

Cordialement. :happy3:

[joanie58]

Vous êtes entrain de me dire que:

montrer que deux fonctions continues définies sur un intervalle sont équivalente elles sont égales

est impossible?????????

[Ben314]

L'implication => est effectivement fausse si tu as comme seule hypothèse "u complète".

ça serait vrai (je te l'ai dit il y a deux jours) si on supposait que u est telle que la mesure de tout intervalle ouvert non vide est non nulle (par exemple une mesure à densité dont la densité est partout non nulle)

[joanie58]

ok donc si on oublie l'hypothèse de mesure complète la l'implication devient possible?

[Ben314]

ok donc si on oublie l'hypothèse de mesure complète la l'implication devient possible?

Tu pense vraiment qu'en ENLEVANT une hypothèse, ça risque de mieux marcher ? :mur:

[joanie58]

Tu pense vraiment qu'en ENLEVANT une hypothèse, ça risque de mieux marcher ? :mur:

Dans mon devoir on me demande de montrer que deux fonctions continues définies sur un intervalle sont équivalente elles sont égales.

On ne précise pas que la mesure est complète dans ma question. Par contre dans le cours on a appris la définition de fonctions équivalentes avec u une mesure complète. Notre professeur nous a dit qu on pouvais toujours rendre une mesure qui n'est pas complète en mesure complète....

Bref, c'est impossible qu'on me demande de montrer quelque chose qui est faux dans mon devoir....................

[Ben314]

Le seul truc "plausible" qui me vient à l'esprit, c'est qu'on te demande de montrer la résultat dans le cas où la mesure c'est celle de Lebesgue...

[joanie58]

Le seul truc "plausible" qui me vient à l'esprit, c'est qu'on te demande de montrer la résultat dans le cas où la mesure c'est celle de Lebesgue...

ok en utilisant u comme étant la mesure de lebegue

J'ai f ~ g

=>

=> pour tout

mais je ne sais pas comment utiliser la continuité pour conclure que f=g .....