Fonction Zéta de Riemann

[jeje56]

Bonjour,

Je dois montrer la dérivabilité de la fonction Zéta de Riemann sur son intervalle de définition ]1,+inf[. Je m'appuie sur le th de dérivabilité pour les séries de fonctions : je pense montrer la dérivabilité sur [a,+inf[ dans un premier temps, est-ce nécessaire ?
Je dis :
1) x->1/n^x est dérivable pour tout n sur [a,+inf[
2) 1/n^x inférieur à 1/n^a pour tout x donc on a la convergence simple
3) Je montre la convergence uniforme sur [a,+inf[ (par la convergence normale) de la série des u'_n(x)...

Ma démarche est-elle correcte ?

Merci d'avance !

[Ben314]

Salut,
Ca me parrait tout ce qu'il y a de plus correct...

[jeje56]

Salut Ben, merci pour ta réponse.

Pour le point 3, j'arrive à :


u'_n(x) inférieur ou égal à ln(n)/n^a : je ne vois pas bien comment prouver la convergence de la série numérique...

Comment déduire à présent la dérivabilité sur ]1,+inf[ ?

Merci !

[Ben314]

...u'_n(x) inférieur ou égal à ln(n)/n^a : je ne vois pas bien comment prouver la convergence de la série numérique...

Il y a une "petite astuce" classique pour ce genre d'expression. Naïvement, on sait que le log ne compte pas beaucoup par rapport à la puissance et le tout est de le formaliser correctement.
Comme a>1, on peut écrire a=a'+epsilon avec epsilon>0 et a'>1 lui aussi (par exemple en prenant a'=(a+1)/2 et epsilon=(a-1)/2).
On a alors ln(n)/n^a = (ln(n)/n^epsilon) * 1/n^a' et le premier terme du produit tend vers 0 donc est borné...

Comment déduire à présent la dérivabilité sur ]1,+inf[ ?

Ca, s'est plus que super standard : Tu as démontré la dérivabilite sur ]a,+inf[ pour tout a>1 et cela implique bien la dérivabilité sur ]1,+inf[ (réfléchis un peut pour bien comprendre le pourquoi...)

[jeje56]

D'accord, je vois bien ! Merci à toi Ben !

[bend]

ln(n)/n^a , ( pour determiner la convergence ) pense au serie de betrand cad une serie dont le terme 1 / (n^a) . (ln (n)^b) cette serie converge si a >1 ou (a=1 ,b>1)

[jeje56]

Oui aussi ! Merci ;-)