Fonction zêta de Riemann

[mehdi-128]

Bonjour,

La fonction zêta est définie sur ]1,+inf[ par

On note pour n entier naturel non nul et x réel >1 :

Montrer que pour tout entier naturel non nul et x réel x>1 :

Je vois pas par où commencer...

[aviateur]

Bonjour
Je crois qu'il faut que tu vois que 1/k^x est plus petit qu'une intégrale qui va de k-1 à k ou bien k à k+1
(fais un petit dessin)
de la fonction 1/u^x.
Avec cela tu pourras majorer ton reste par une intégrale qui va jusque + l'infini et facile à calculer. Normalement
tu tombes sur ce qu'il faut.

[mehdi-128]

Bonjour
Je crois qu'il faut que tu vois que 1/k^x est plus petit qu'une intégrale qui va de k-1 à k ou bien k à k+1
(fais un petit dessin)
de la fonction 1/u^x.
Avec cela tu pourras majorer ton reste par une intégrale qui va jusque + l'infini et facile à calculer. Normalement
tu tombes sur ce qu'il faut.

J'ai fait un dessin et après je vois pas trop.

[Arbre]

Salut,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparais ... C3%A9grale

Bonne journée.

[mehdi-128]

Salut,

https://fr.wikipedia.org/wiki/Comparais ... C3%A9grale

Bonne journée.

EN gros j'ai

Je prends un entier k non nul et t appartenant à [k-1,k] :

f est décroissante sur [1,+inf[ donc :



Donc :

Enfin :

L'intégrale de droite se calcule facilement et on obtient le résultat c'est bien ça ?