Fonction périodique et sous-groupe

[jonses]

Bonjour ou bonsoir,

Je suis sur la fin d'un exercice, et là je suis bloqué :

Soit de R dans R
On suppose que est continue, périodique et non constante. (on peut donc introduire L, un réel non nul, tel que f soit L-périodique)

Il s'agit de montrer qu'alors il existe un unique réel strictement positif T tel que l'ensemble des périodes de soit T.

(on admet que tout sous-groupe de est soit de la forme a avec a un réel positif, soit dense dans R.


J'ai montré que S est un sous-groupe de (R,+), et que S ne peut pas être dense dans R du fait de sa continuité et de sa non-constance. Et donc S=aZ avec a un réel positif (non nul vu que L est dans S et L est non nul)

Ensuite j'ai montré que l'ensemble n'est pas vide, et qu'elle admet une borne inf T.

Je voulais montrer que T est dans A, puis montrer que aZ=TZ, mais à partir de là je tourne en rond.
Si quelqu'un peut m'aider, je le remercie d'avance

[L.A.]

Bonjour.

En fait, tu as déjà démontré ce que tu voulais non ? Tu as montré que S=aZ, donc en posant T = a tu as bien S = TZ ?

La voie sur laquelle tu t'engages ensuite correspond à la démonstration du résultat que tu dis avoir admis sur les sous groupes de (R,+). Si S est un sous-groupe non nul de R, alors S inter (R_+)* admet une borne inférieure T. Si T appartient à S alors on vérifie que S=TZ, sinon on vérifie que T=0 et que S est dense.

[DamX]

Bonjour ou bonsoir,

Je suis sur la fin d'un exercice, et là je suis bloqué :

Soit de R dans R
On suppose que est continue, périodique et non constante. (on peut donc introduire L, un réel non nul, tel que f soit L-périodique)

Il s'agit de montrer qu'alors il existe un unique réel strictement positif T tel que l'ensemble des périodes de soit T.

(on admet que tout sous-groupe de est soit de la forme a avec a un réel positif, soit dense dans R.


J'ai montré que S est un sous-groupe de (R,+), et que S ne peut pas être dense dans R du fait de sa continuité et de sa non-constance. Et donc S=aZ avec a un réel positif (non nul vu que L est dans S et L est non nul)

Ensuite j'ai montré que l'ensemble n'est pas vide, et qu'elle admet une borne inf T.

Je voulais montrer que T est dans A, puis montrer que aZ=TZ, mais à partir de là je tourne en rond.
Si quelqu'un peut m'aider, je le remercie d'avance

Bonjour,

Ton ensemble est un ensemble discret dans R et borné donc sa borne inf est son minimum.

Mais à la limite je ne vois Meme pas pourquoi tu fais ça si le but est de montrer l'unicité de a. Tu as donc S=aZ, tu supposes par l'absurde qu'il existe b>0 différent de a tel que S=bZ.
Cas 1 : b<a, b appartient-il à S ? .... Contradiction ?
Etc


Damien