Fonction non continue en 0

[mehdi-128]

Bonsoir,

J'ai des difficultés concernant cet exercice

Soit
Considérons la fonction f définie sur par :



f n'est pas continue en 0. Montrer que cette fonction vérifie la propriété des valeurs intermédiaires.
On pourra prendre 2 réels tels que et considérer un segment

Je vois pas comment faire.

[pascal16]

par continuité, il n'y a pas de problème quand a et b sont tous deux strictement positifs ou strictement négatif.
reste 3 cas (2 par symétrie) :
a<0 et b>0
a=0, b>0

sin(1/x) prend toutes les valeurs entre -1 et 1 quand x est proche de 0, (ce qui finalement peut remplacer une notion de continuité ici.)
en utilisant un découpage habile de [a,b] et en utilisant un antécédent habile de xo, il est facile de conclure.

[mehdi-128]

Merci pour la réponse Pascal.

1er cas :
Si et et a, b de même signe alors :
f est continue sur par continuité de la fonction sinus, elle vérifie donc la propriété des valeurs intermédiaires sur le segment.

2ème cas :
Si et
Alors
Soit

On cherche tel que :

Je suis bloqué

[pascal16]

xo : est une valeur quelconque dans [-1;1]

pour x dans [b/100; b[ existe-t-il un nombre a' tel que f(a')=xo ?

auquel cas tu retombes dans un cas classique de continuité sur [a',b]

[mehdi-128]

Je comprends pas votre b/100 d'où ça sort mais si :

alors admet une solution qui est

Maintenant si ça se complique.

[pascal16]

proche de 0, tu as forcément un nombre plus petit que b tel que f(a')=xo

[mehdi-128]

Bah non la fonction f est égale à que quand