Fonction indicatrice

[pierresimpore]

Bonjour,
Soit un ensemble et une partie de .
On definit par:
si ; 0 si .

1) Montrer que si et sont deux sous ensembles disjoints de E, alors
.
En deduire que si est une suite de sous ensemble de deux à deux disjoints, on a:


2) Montrer que si , on a:


3) Montrer que pour A et B des sous ensembles de E, on a:
.


Voici mes elements de reponses:

1) soit
1er cas: si alors

==> ou
si alors et d'ou => .
si meme raisonement donc on peur dire que
.

2e cas: si alors
maintenant
=> et dans ces cas

Conclusion pour tout x de E .
On nous demande d'en deduire

j'ai voulu utiliser la recurrence mais je bloque:
je supose deja que c'est vrai à l'ordre n et que je dois montrer qu'elle est vrai à l'ordre n+1.
donc je dois montrer que
besoin de piste

2) soit x de E
1er cas:
si alors dans ce cas
par consequent

2e cas: alors
si alors dans ce cas
donc on tire la conclusion.

3) soit x de E
1er cas: alors
si alors et donc donc...

2e cas: alors
si alors et ou bien et et dans ces deux cas on aura toujours

et on tire la conclusion.

[Robot]

A mon avis, le "en déduire" du 1°) est abusif : un passage à la limite à partir d'une somme finie demanderait une justification, il vaut mieux refaire un raisonnement depuis le début.

Tes raisonnements pour 2° et 3° ne vont pas : il est faux de dire que
si alors et
tout comme il est faux de dire que
si alors ou .

[pierresimpore]

on sait que par hypothese
donc si c'est à dire que si au complementaire de B dans A alors on peut dire que or donc x est aussi dans A. c'est comme ca j'ai raisonné, c'est pas juste?

[MouLou]

Si x n'est pas dans A, peut il etre dans A-B?

[pierresimpore]

ok, si x n'est pas dans A donc il ne peut pas etre dans A-B. j'ai oublié ce cas egalement merci de me rappeler. mais est ce que le premier raisonnement n'est pas juste?

[MouLou]

Premier raisonnement, cad 1ere question? Pas tout à fait, enfin c'est juste mais il manque un détail à préciser sans lequel tout s'écroule: A et B sont disjoints. Dans votre raisonnement ca apparait ici: "alors et "
mais c'est écrit nulle part du coup on ne sait pas trop si c'est un coup de bol

[pierresimpore]

vous avez raison, je n'avais penser à ca. il faut vraiment que A et B soit disjoints.
pouvez-vous me donner un coup de pouce sur la deduction de la 1ere question.
est ce que mes autres reponses sont RAS?

[MouLou]

Reprend les 2 points énoncés par Robot et c'est bon.

Pour la généralisation à une suite d'ensembles 2 à 2 disjoints je te propose la manière suivante:

-Deja ta série est une serie de fonction positive, donc tu peux considérer sa somme, quitte à ce qu'elle vaille +oo.
- Ensuite tu fais exactement pareil en distinguant les cas, cad que tu montres que les 2 fonctions sont égales sur les différents ensembles d'une partition bien choisie.
-Cette partition serait: -x n'est pas dans l'union, alors que valent les 2 fonctions évaluées en cet x?
-x est dans l'union, donc il existe un n tel que . Peut il etre alors dans un ? Qu'en déduire sur la valeur des 2 fonctions évaluées en cet x?

[pierresimpore]

ok, je vais reprendre les deux remarques de Robot.
si je veux bien comprendre je partitionne ce qui me donne

je vais simplifier les ecritures en posant et

et sont disjoints donc

je decompose ensuite

ensuite je montre que
et .
est ce que c'est ca?

[Robot]

Non, ce n'est pas du tout ce que j'avais en tête.
Moulou t'a donné des indications suffisamment précises. Tu devrais en tenir compte.