Fonction gamma

par **praud** » 07 Nov 2007, 22:23

Soit la fonction gamma d'euler

.
Je cherche a demontre la derivabiltée de la fonction gamma et que la limite de gamma en est

J'est deja montrer que gamma est convergente,continue et que

est convergente.

par **Aspx** » 07 Nov 2007, 22:34

L'intégrande

est continue pour x fixé et continue par morceau à t fixé (car continue...), de plus sa dérivée partielle par rapport à s,

, est aussi continue.
Si s appartient à

on a

qui est une référence continue par morceaux et R+ intégrable. (Même domination pour la dérivée mais on multiplie par ln(t) qui ne change rien à la R+ intégrabilité)
Gamma est donc dérivable.

Pour la limite, on peut peut être invoquer le critère séquentiel en montrant que

par **praud** » 07 Nov 2007, 22:40

Aspx a écrit:Si s appartient à on a qui est une référence continue par morceaux et R+ intégrable. (Même domination pour la dérivée mais on multiplie par ln(t) qui ne change rien à la R+ intégrabilité)
Gamma est donc dérivable.

Pour la limite, on peut peut être invoquer le critère séquentiel en montrant que

je n'ai pas compris

par **Aspx** » 07 Nov 2007, 22:44

Pour la majoration si t<1 ou >1 c'est soit t^(alpha-1) soit l'autre alors on majore par la somme des deux... Pour le reste c'est la validation du théorème de dérivabilité sous l'intégrale.

par **praud** » 07 Nov 2007, 22:50

J'ai deja majoré

de la facon suivante(dans une question précedente)

<k/t²(k dependant de s).Je peux m'en servir ou pas.

par **Aspx** » 07 Nov 2007, 23:00

Oui à condition que

soit majorée. Alors on a une majoration intégrable en l'infini (référence de Bertrand).

par **praud** » 08 Nov 2007, 18:44

est ce que vous pouvez m'expliquer comment on montre que la limite de la fonction gamma est +l'infini.

par **ThSQ** » 08 Nov 2007, 19:21

par **Aspx** » 08 Nov 2007, 19:29

d'où

Le critère séquentiel donne le résultat.

par **ThSQ** » 08 Nov 2007, 19:35

Aspx a écrit:[Le critère séquentiel donne le résultat.

Tout à fait d'accord mais il faut montrer que la fonction est croissante non ?

par **Aspx** » 08 Nov 2007, 19:44

Pourquoi il faudrait montrer qu'elle est croissante ?

par **ThSQ** » 08 Nov 2007, 19:49

Ben je sais pas moi, c'est pas parceque f(n) -> +oo quand n N -> +oo que f(x) -> +oo quand x IR -> +oo.

f(x) = cos(2*pi*x) * x n'a pas de limite en +oo alors que f(n) = n -> +oo.

par **praud** » 08 Nov 2007, 19:49

ThSQ a écrit:

Je n'ai pas compris pourquoi

par **ThSQ** » 08 Nov 2007, 19:51

praud a écrit:Je n'ai pas compris pourquoi

C'est

et je suis sûr que ça peut se calculer explicitement !

par **Aspx** » 08 Nov 2007, 20:08

ThSQ a écrit:Ben je sais pas moi, c'est pas parceque f(n) -> +oo quand n N -> +oo que f(x) -> +oo quand x IR -> +oo.

f(x) = cos(2*pi*x) * x n'a pas de limite en +oo alors que f(n) = n -> +oo.

Oui entièrement d'accord excuse moi, j'ai pas montré que toute suite qui tend vers l'infini a une limite... Il faudrait montrer que Gamma est croissante ce qui est évident à partir de x>2 par exemple.

par **ThSQ** » 08 Nov 2007, 20:18

Aspx a écrit:excuse moi

Tu es tout pardonné !!

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