Fonction n'est pas Lipschitzienne

[adamNIDO]

Une fonction f telle que




Pour tout x et y, telle que C est une constante indépendante de $x$ et $y$, est appelé
une fonction Lipschitzienne

Montrer que n'est pas une fonction Lipschitzienne

En effet, il exsite pas une constante C telle que :



on a ces inéqualites



on a aussi

[wserdx]

L'interprétation géométrique d'une fonction Lip. est que si tu considères pour tous x,y, les droites passant par les deux points (x,f(x)) et (y,f(y)), alors ces droites ont leur coefficient directeur borné (en valeur absolue).
Autrement dit, pour une fonction Lip. tu ne peux pas trouver une telle droite ayant un coefficient directeur aussi grand que voulu. Si de plus la fonction est dérivable, alors la propriété passe aussi sur les tangentes à la courbe.

En condition plus forte, si une fonction est dérivable et si sa dérivée est bornée, alors elle est Lip.

Si tu regardes maintenant , tu t'aperçois qu'elle n'est pas dérivable en 0.
Que peux-tu dire alors du coefficient directeur de la droite passant lorsque y devient petit (tend vers 0)?

[adamNIDO]

un grand merci wserdx c'est une bonne explication merci pourriez vous ajouter des images pour voir ca graphiquement avec des tangentes ou bien s'il ya une site qui fournit le dessin graphique d'une fonction avec tangente merci d'avance

[Tiruxa]

Une fonction f telle que



est appelé une fonction Lipschitzienne

Pour démontrer qu'elle ne l'est pas on démontre que sa négation est vraie c'est à dire :




Donc prendre une valeur de C, C>0 (C=0 étant trivial)

Il suffit en effet de prendre x=0 et ensuite déterminer la valeur de y, y >0, pour laquelle on a
.

[wserdx]

Il y a surement d'autres sites que ceux-ci...
wolfram
geogebra

[adamNIDO]

merci beaucoup mais pouvez vous m'indiquer comment je peux representer ma fonction avec des tangentes sur ce site http://www.geogebra.org/webstart/geogebra.html
pour comprendre liptschiz

[wserdx]

Si le site geogebra t'intéresse, le mieux est de lire les tutoriels. Ils sont en français (désolé si ce n'est pas ta langue maternelle...)
Personnellement je connais ce site et je le recommande à ceux qui veulent 'visualiser' la géométrie mais je ne m'en sers pratiquement jamais.
Pour démarer, j'ai juste saisi dans la fenêtre de saisie en bas
f(x)=sqrt(x)
Bon courage.