Fonction entière

[MacManus]

Bonjour

J'aurais besoin d'aide sur un exercice d'analyse complexe.

On dit qu'une fonction f est entière si elle est holomorphe sur le plan complexe tout entier.
On définit la fonction "indice" d'un point par rapport à un lacet (= chemin fermé) par :

J'ai montré que pour deux points complexes a et b qui ont même indice par rapport à un lacet , on a

Voici mon problème :
Je dois calculer, pour ab, où f est entière et un grand cercle contenant a et b.

Ce que je peux dire, c'est que si j'oriente ce cercle, les points a et b ont même indice par rapport à ce cercle. Est-ce que je dois utiliser les développements en séries entières de f aux voisinages de a et de b ?

Merci pour votre aide.

[Ben314]

Salut,
Si tu n'as pas vu le théorème des résiduts, je pense qu'il faut effectifement utiliser une étude locale de f au voisinage de a et de b.
Plutôt qu'un développement "complet", dire que f(z)=f(a)+(z-a)g(z) avec g entière doit être suffisant...

[Nightmare]

Salut !

Sinon on peut décomposer en élément simple et utiliser la formule de Cauchy.

:happy3:

[MacManus]

Merci Ben et Nightmare

Si je suis les conseils de Nightmare, j'obtiens que :

[MacManus]

Pour Ben314

comment ferais-tu pour appliquer le théorème des résidus ici ?
merci !

[Joker62]

Haileau.

Tu as une fonction méromorphe avec deux pôles en a et b.
Pour trouver les résidus de cette fonction en a ou en b, tu développes ton f en série entière autour de a et ça devrait se faire naturellement non ?

[Doraki]

Salut,
Si tu n'as pas vu le théorème des résiduts, je pense qu'il faut effectifement utiliser une étude locale de f au voisinage de a et de b.
Plutôt qu'un développement "complet", dire que f(z)=f(a)+(z-a)g(z) avec g entière doit être suffisant...

voire f(z) = [(z-a)f(b) - (z-b)f(a)]/(b-a) + (z-a)(z-b)g(z)
(mmh ça doit revenir au même que de décomposer en éléments simples comme dit nightmare)

[Ben314]

Pour les résiduts, si tu l'as déjà vu, comme le pôle de la fonction est simple, le résidut de en est la limite de lorsque tend vers ce qui donne immédiatement .
On obtient donc bien le résultat que tu donne...

[MacManus]

d'accord !!
j'ai cherché la définition et je retombe sur ce que tu dis aussi
merci beaucoup j'ai bien compris
:++: