Fonction dérivable

[Saadiens]

on m'a donné cette question et je n'ai aucune idée de la façon de la résoudre

Soit h une fonction dérivable sur [a,b] telle que pour tout x de [a,b], h'(x) est différent de 0.
montrer que h est une bijection de [a,b] dans h([a,b])?

je sais que si vous voulez prouver que la fonction est bijective, vous devez prouver qu'elle est à la fois surjective et injective. mais dans ce problème il n'est pas juste de l'utiliser

[mathelot]

bonjour,

surjectivité
h étant continue, quelle est la forme de h([a,b]) ?

injectivité
connais tu le théorème des accroissements finis ?

PS:
Par une fonction f continue, l'image d'un intervalle est .....
Par une fonction f continue, l'image d'un ensemble compact est .....

[mathelot]

La fonction continue h , définie sur l'intervalle fermé borné [a;b] est bornée et atteint ses bornes.
Notons et . m est la plus petite image et M est la plus grande image par h. h continue prend toutes les valeurs de l'intervalle [m,M] d'après le théorème des valeurs intermédiaires.
donc h([a,b]) =[m;M]
h est surjective .

Montrons que h est injective :
soient
supposons h(x)=h(y) avec
alors il existe tel que
h(x)-h(y)=(x-y)h'(c) =0
h'(c) non nul par hypothèse.
donc x=y
donc h est injective.

h est donc une bijection de [a,b] sur [m,M]=h([a,b])