Fonction dérivable et limite

[sarah79]

Bonjour,

on me demande de trouver une fonction dérivable sur R dont la fonction dérivée n'a pas de limite à gauche ni de limite à droite en 0.

Je n'arrive pas à trouver d'exemple et surtout je ne comprend pas comment elle peut etre dérivable sur R et sa limite ne peut pas avoir de limite à droite et a gauche en 0.
Si c'est dérivable sur R, f'(0) existe donc il y a une limite en 0??

Quelqu'un peut -il m'expliquer et me donner un exemple svp?

[Nightmare]

Salut !

Prendre f(x)=x²sin(1/x) et f(0)=0. f est dérivable en 0 et pourtant sa dérivée f'(x)=2xsin(1/x)-cos(1/x) (f'(0)=0) n'admet pas de limite à droite et à gauche en 0, parce que cos(1/x) non plus.

[sarah79]

comment sais tu que f'(0)=0

[Nightmare]

f(x)=o(x) ! et f est dérivable en 0 si et ssi f(x)=f(0)+f'(0)x+o(x)

[Pythales]

et que vaut ?

[Ben314]

Salut,
Je ne saurait trop te conseiller d'essayer de représenter le graphe de la fonction dont te parle Nightmare.
Comme un sinus de n'importe quoi est entre -1 et 1, la courbe est entièrement comprise entre les paraboles d'équation y=x² et y=-x² (dessine les) et cela suffit à voir qu'elle possède obligatoirement une tangente (horizontale) en (0,0).
Par contre, lorsque x se raproche de 0, la courbe n'arrête pas d'osciller (de plus en plus vite) d'une parabole à l'autre et donc la pente de la courbe (i.e. la dérivée de la fonction) n'a pas de limite en 0.

[sarah79]

moi je trouve que f'(0)=1 car f(x)-f(0)/(x-0)=xsin(1/x)

par DL sin(x)=x+o(x) donc sin(1/x)=1/x+o(1/x)

et x*sin(1/x)=1+o(1) non?

[benekire2]

Oui sauf que ton égalité tient au voisinage de l'infini ( donc 1/x proche de 0 )

f'(0)=0 car en effet la limite en 0 de xsin(1/x) c'est al limite en l'infini de (sinx)/x qui est clairement 0.

Salut :id:

PS. Si tu tient terriblement à tes DL , écrit que au voisinage de l'INFINI sinx=o(x) et que donc au voisinage de 0 sin(1/x)=o(1/x) i.e xsin(1/x)=0(1) .

[Ben314]

As tu fait un dessin ?
Si tu l'avais fait, tu ne risquerait pas d'affirmer que f'(0)=1 !!!