quelqu'un peut-il me rappeler comment on trouve que :
merci d'avance
Fonction analytique
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fonction analytique
par nemesis » 15 Mai 2007, 20:17
bonsoir a tous
quelqu'un peut-il me rappeler comment on trouve que :
 + cos(2x) + cos(3x) +..........+cos(nx) \le \frac{1}{sin (x/2)})
et comment montrer que la fonction h(x) définie par =\sum_{n=1}^\infty e^{-n} e^{i n^2 x})
n'est pas analytique au voisinage de 0 ?
merci d'avance
quelqu'un peut-il me rappeler comment on trouve que :
merci d'avance
par fahr451 » 15 Mai 2007, 20:23
bonsoir
pour l'inégalité
tu calcules exp(ix) +...+exp(inx) somme géométrique
pour l'inégalité
tu calcules exp(ix) +...+exp(inx) somme géométrique
par fahr451 » 15 Mai 2007, 20:41
pour l'autre question
j'ai une solution dont je suis guère satisfait et qui n'est pas si rapide à exposer
tu as eu la question ainsi ?
je t'explique les grandes lignes
h est C infini on peut dériver terme à terme en 0
h^(p) (0) = i^p a(p)
si h était analytique on aurait
h (x) = sigma i^p x^p a(p) /p! de rayon de cv non nul
et là je montre avec des majorations minorations pas si simples
que a(p+1)/[(a(p)p] ->+infini ce qui donne (d'après d'alembert )un rayon de cv nul
j'ai une solution dont je suis guère satisfait et qui n'est pas si rapide à exposer
tu as eu la question ainsi ?
je t'explique les grandes lignes
h est C infini on peut dériver terme à terme en 0
h^(p) (0) = i^p a(p)
si h était analytique on aurait
h (x) = sigma i^p x^p a(p) /p! de rayon de cv non nul
et là je montre avec des majorations minorations pas si simples
que a(p+1)/[(a(p)p] ->+infini ce qui donne (d'après d'alembert )un rayon de cv nul
par nemesis » 15 Mai 2007, 20:48
je t'expose dans quelque instant ce que je fais (le temps d'ecrire tous ca en latex ,sinon c'est illisible)
par nemesis » 15 Mai 2007, 21:14
une question avant si on montre que la serie }(0)}{k!} x^k)
est divergente alors h n'est pas analytique ?
par nemesis » 15 Mai 2007, 21:55
en partant du principe que si la serie } (0)|}{k!} x^k)
est divergente alors h n'est pas analytique
je me lance :
on a :} (0) =\sum_{n=0}^\infty i^(k) e^{-n} n ^2k \\ \frac {h^{(k)} (0) }{k!}=\frac {i^k}{k!}\sum_{n=0}^\infty e^{-n} (n ^2)^k)
en module on a :
^k)
et :} (0) }{k!} x^k\ge 1/k! \sum_{1}^N e^{-n} (n^2)^k x^k)
x dans le voisinage de 0 et x>0,
en sommant on a:} (0) }{k!} x^k\ge \sum_{k=0}^\infty 1/k! \sum_{1}^N e^{-n} (n^2)^k x^k \\ \ge \sum_{k=0}^N \sum_{1}^\infty 1/k! e^{-n} (n^2)^k x^k \\ \ge \sum_{k=0}^N e^{-n} \sum_{1}^\infty \frac {(n^{2} x)^k}{k!} \\ \ge \sum_{k=0}^N e^{-n} e^{n^2x} = \sum_{k=0}^N e^{n^x} \text {qui est divergente (terme general tendant vers l'infinie))
et donc la serie est divergente (superieur a une serie qui diverge ,donc pas analytique,bonne lecture
je me lance :
on a :
et :
en sommant on a:
par fahr451 » 15 Mai 2007, 22:09
alors
pour moi il y a un problème dans ce que tu as écrit
après "en sommant"
k varie de 0 à +infini et n de 1 à N ( N fixé je présume)
et la ligne d 'après les bornes changent
as tu permuté les sigma ? je le pense si oui
c'est >= sigma n = 1 à N de sigma k = 0 à +infini
et à la fin c 'est sigma de exp (-n+n^2x)
ceci dit c 'est TRES BIEN
une remarque en fait en regardant la série initiales avec les modules partout
il est inutile de couper à N on peut travailler avec la série double de réels positifs qui existe toujours dans RU {+infini}
pour moi il y a un problème dans ce que tu as écrit
après "en sommant"
k varie de 0 à +infini et n de 1 à N ( N fixé je présume)
et la ligne d 'après les bornes changent
as tu permuté les sigma ? je le pense si oui
c'est >= sigma n = 1 à N de sigma k = 0 à +infini
et à la fin c 'est sigma de exp (-n+n^2x)
ceci dit c 'est TRES BIEN
une remarque en fait en regardant la série initiales avec les modules partout
il est inutile de couper à N on peut travailler avec la série double de réels positifs qui existe toujours dans RU {+infini}
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