Fonction analytique

[Pythales]

A mon tour de poser des questions :
Déterminer une fonction analytique P(x,y)+iQ(x,y) telle qur P soit le produit de X(x).Y(y)

[Galt]

J'avoue que je ne comprends pas très bien la question. Quelle est la différence entre X et x, y et y ?
Est-ce que la fonction convient ?

[Pythales]

X est une fonction de x, Y est une fonction de y (on parle de la variable complexe z=x+iy). J'aurais pu écrire P=U(x).V(y).

[Pythales]

Je vois que ma question n'a pas beaucoup de succès. C'est sans doutes parce qu'elle est mal posée. Je reprends :
Soient 2 fonctions U(x) et V(y), connues. Je pose P=U.V
Déterminer l'expression générale de Q(x,y) (en fonction de U et de V) telle que la fonction P+iQ, de la variable complexe z=x+iy, soit analytique

[yos]

Hello Pythalès.
C'est une autre question on dirait.
Les conditions de Cauchy donnent :
u'(x)v(y)=Q'y(x,y) et u(x)v'(y)=-Q'x(x,y).
(j'espère que j'ai mis le moins au bon endroit)
Après on intègre par rapport à y (resp. x) :

u'(x)V(y)+c(x)=Q(x,y)=-U(x)v'(y)+d(y)

où U et V sont des primitives de u et v.

D'où

u'(x)V(y)+c(x)=-U(x)v'(y)+d(y).

Et ... je sais pas il faut que je regarde.

[Pythales]

J'en étais arrivé là moi aussi.

[yos]

On suppose bien sûr u et v deux fois dérivables, ne s'annulant pas et tout ce qu'on veut.
Dérive la relation obtenue par rapport à x puis y :

u''(x)v(y)+u(x)v''(y)=0

Ca donne une équadiff en u et une autre en v qui constituent une contrainte rude sur u et v et qui laissent penser que en général le problème n'a pas de solution. (Car tu as bien dit que u et v sont connus?)

Si le problème a une solution, c'est-à-dire si u'(x)V(y)+U(x)v'(y) s'écrit sous la forme d(y)-c(x), alors ce que j'ai dit précédemment est assez satisfaisant : la relation u'(x)V(y)+c(x)=Q(x,y)te donne un Q(x,y) qui marche.

[Pythales]

C'est moi qui ai interprété que u et v étaient données. Voici le texte exact de l'exercice :
Trouver l'expression générale des fonctions analytiques f(z)=P+iQ de la variable z=x+iy telles que P soit le produit de deux fonctions u(x) et v(y). Choisir les constantes de façon que les racines de f(z)=1 soient les nombres de la forme n.pi.i où n est un nombre entier, chacun étant une racine double.