Fonciton périodique non constante admet une + petite periode

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MoonX
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Fonciton périodique non constante admet une + petite periode

par MoonX » 02 Nov 2017, 15:30

Bonjour,

Soit une fonction continue, périodique, non constante.
Montrer que la fonction f admet une plus petite période.

Je ne sais pas comment commencer. J'ai pensé aux sous groupes additifs de R, mais j'aimerai trouver une preuve plus élémentaire ( en considérant l'ensemble des périodes de f)



aviateur
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par aviateur » 02 Nov 2017, 16:09

Bonjour Voilà comment je commencerai:
On dit que T>0 est une période pour f ssi f(x+T)=f(x) pour tout x ds R.
Soit E l'ensemble des périodes de f et

T_0 est bien défini puisque E est non vide et minoré par 0.
Reste à montrer que T_0 est une période.

MoonX
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par MoonX » 02 Nov 2017, 16:22

Merci pour votre réponse.
Soit une suite d'éléments de (l'ensemble des périodes de f) qui tend vers T_0 (par caractérisation de la borne inf).

alors et par continuité.

Donc T_0 est bien une période.
Mais je vois pas où l'hypothèse "Non constante" entre en jeux ???

Viko
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par Viko » 02 Nov 2017, 16:32

@MoonX si f est constante inf{Per(f)} n'est pas bien définie
Qui ne maîtrise pas ses Cassinis, termine à Telecom Nancy

MoonX
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par MoonX » 02 Nov 2017, 16:37

Faut-il nécessairement supposer que 0 n'est pas période ? C'est ça que j'ai du mal à comprendre :
Pourquoi 0 ne serait-il pas période ? (ce qui est vrai pour toute fonction continue) Ou alors ma définition de période est erronée ?

Viko
Membre Relatif
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par Viko » 02 Nov 2017, 16:44

il est juste de dire qu'une fonction est 0-périodique, et c'est clairement vrai pour toute fonction donc autant ne pas le préciser (je n'ai pas fait de recherche approfondi sur le sujet donc je me trompe peut-être)
Qui ne maîtrise pas ses Cassinis, termine à Telecom Nancy

Kolis
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Re: Fonciton périodique non constante admet une + petite per

par Kolis » 02 Nov 2017, 18:49

Bonjour !
La borne inférieure d'une partie de peut très bien être nulle. Et n'est pas très utile....
....................................................................................
Je ne vois pas comment tu pourrais te passer des propriétés des groupes additifs de !
Si tu supposes le groupe des périodes dense, soit .
Il existe une suite d'éléments de qui converge vers .
Comme et continue, par limite on aura .

 

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