Extremum

[Sylar]

Bonsoir,quelqu'un aurait-il une idée sur cet énoncé:

f:R^n-->R ,continue ,telle que,pour tout a appartenant a R,f^(-1){a} est compact dans R^n ,admet-elle un extremum global ?

[Sylar]

Pas d'idées ?

[Alexandre le Grand]

Avec n=1 et f=Id on a un contre-exemple si je ne m'abuse.
Maintenant pour le cas général, il faut sans doute essayer par l'absurde...
(oui je sais, je suis inutile :euh:)

[Sylar]

Pourrais-tu préciser s'il te plait ?

[nuage]

Salut,
une idée de démonstration pour .

-- On sait que est compact il est donc borné.

-- on considère dans la boule de centre O et de rayon elle est bien définie car la norme est continue.

--l'image de la boule de rayon r est un intervalle fermé borné disons [b;c] contenant a.

--le complémentaire de la boule de rayon r est connexe (c'est le point clé).
Son image par f qui est continue est donc connexe.
Elle est donc incluse soit dans soit dans

reste à conclure.

Modification Remplacer b et c par a dans le dernier point :
Elle est donc incluse soit dans soit dans

Un excès d'optimisme m'a pris hier soir.